Книга пятая

Часть первая

Сказал Леви бен Гершом. В предшествующих томах мы отчасти разъяснили те вопросы, которые будут рассмотрены в настоящем томе. В этом томе мы намереваемся рассмотреть возможность выдвижения таких моделей небесных тел и их свойств [מספרם], из которых можно вывести их [,т.е. небесных тел,] видимое движение во всех его аспектах. [Эти модели также должны] соответствовать как наблюдаемым изменениям величины их тел, так и основоположениям [науки о] природе. Вслед за этим мы исследуем, почему движениям небесных тел свойственна именно такая скоростью, ретроградность и прямое движение, такое склонение к северу и югу, и почему прочие привходящие свойства небесных тел именно таковы, каковы они есть. Затем мы, по мере сил нашего ума, рассмотрим, как соотносятся друг с другом двигатели небесных тел, и как соотнесен с ними Господь, благословен Он.
Таким образом, я разделил этот том на 3 части. Первая часть посвящена исследованию, в соответствие с нашими возможностями, моделей и свойств [מספרם] небесных тел. Вторая часть — объяснению, по мере наших возможностей, всех привходящих свойств небесных тел.
В третьей части будет, по мере наших возможностей, рассмотрено, как соотносятся двигатели небесных тел друг с другом и с Господом, благословен Он.

Первая часть.

В ней рассматриваются модели и свойства небесных тел.
Глава первая.

В ней мы докажем, что данный вопрос следует рассмотреть в этой книге.
Глава вторая.
В ней мы покажем, что трудность этого вопроса требует от нас его обстоятельного исследования.
Глава третья.
В ней мы рассмотрим некоторые трудности, связанные с постижением этого вопроса, и также объясним, что заставило нас создать инструмент для проведения наиболее точных наблюдений.
Глава четвертая.
В ней мы приведем некоторые предпосылки, которые будут полезны для нашего исследования в том что касается наблюдений и углов коррекции в моделях, которые будут установлены в процессе исследования. Эта глава состоит из пяти разделов.
Первый раздел.
В нем мы разъясним значения некоторых используемых в этой науке терминов.
Второй раздел.
В нем мы приведем геометрические доказательства, которые помогут нам обрести необходимые для этой науки знания дуг, синусов и версинусов. Он рассматривает самые необходимые в этой науке вещи.
Третий раздел.
В нем мы дадим указания, каким образом создать таблицы, содержащие дуги для нахождения соответствующих им синусов и версинусов, и наоборот.
Четвертый раздел
В нем вы создадим таблицы и объясним как ими пользоваться.
Пятый раздел
В нем мы сообщим, как находить углы и стороны треугольника, если некоторые из углов и сторон известны.
Глава пятая
В ней мы предложим способ определения величины полудиаметра солнца или луны по отношению к кругам их вращения с использования проходящего сквозь окно луча.
Глава шестая
В ней мы рассмотрим, каково местоположение центра [,т.е. вершины,] угла зрения наблюдателя, дабы с помощью этого мы смогли установить [угловое] расстояние звезд друг от друга на основании расстояния между ними, видимого с помощью изобретенного нами для наблюдений инструмента.
Глава седьмая
В ней мы опишем способ создания этого инструмента, а также скажем каким образом его использовать для нахождения [угловых] расстояний между звездами по отношению к эклиптике.
Глава восьмая
В ней мы объясним как, используя этот инструмент, определять высоту солнца или вообще любой звезды с величайшей точностью. На основании высоты можно найти соответствующий час для или ночи. Мы также покажем как определить расстояние звезды от экватора, когда она находится на меридиане.
Глава девятая
В ней мы покажем, что этот инструмент помогает нам определить величину диаметра звезды по отношению к кругу ее вращения.
Глава десятая
В ней мы объясним, как при помощи этого инструмента определить расстояние от луны до солнца по отношению к эклиптике, дабы это некоторым образом указало нам, как следует определять местоположения неподвижных звезд.
Глава одиннадцатая
В ней мы разъясним, как пользоваться этим инструментом, дабы избежать ошибок в наблюдениях.
Глава 12
В ней мы покажем, как создать астролябию, чтоб при ее использовании не возникло ошибок в наблюдениях, дабы с ее помощью можно было определить высоту звезды с наибольшей возможной точностью. Мы также покажем, как разделить ее градусы на минуты, даже если последние малы.
Глава 13
В ней мы укажем, как в любом месте с величайшей возможной точностью определить меридиан.
Глава 14
В ней мы покажем, какие трудности связаны с определением истинного местоположения неподвижных звезд по долготе и широте.
Глава 15
В ней мы дадим указания, как в любое желаемое время определить истинное местоположение солнца.
Глава 16
В ней мы покажем, как определять местоположения неподвижных звезд
Глава 17
В ней будет рассмотрено изменение величин планет, и показано, что здесь дело обстоит не так, как полагал Птолемей.
Глава 18
В ней мы разъясним, что в этом месте [нашего исследования] не следует приводить доказательства несоответствия модели Птолемея наблюдаемым движениям планет.
Глава 19
В ней мы приведем в качестве первоначального основоположения этого исследования свойства движений планет, которые наблюдали мы или другие [ученые]; и это необходимо для того, чтоб приведения это исследование к завершению.
Глава 20
В ней мы рассмотрим все представимые альтернативные модели, объясняющие изменения в движении долготы, исходя из предположения, что это движение простое; мы также опишем особенности этих моделей.

Глава первая

Мы обнаружили, что ни один из тех [наших] предшественников, чьи сочинения нам известны, не предпринял попытку полностью исследовать астрономию [חכמת בתכונה], и по этой причине она продолжает оставаться в ущербном состоянии. Поэтому мы решили [самостоятельно исследовать] этот предмет. Мы нашли, что те [ученые], кто исследует астрономию средствами математики, ограничиваются созданием приблизительной модели [תכונה], в соответствие с которой могут возникать наблюдаемые [явления], и не пытаются создать модель, соответствующую истине. Наличие в созданной ими модели множества затруднений [доказывает], что она [,т.е. истинная модель,] никак не может соответствовать предложенной ими модели.

Эти затруднения были замечены некоторыми исследователями природы и философами, и по этой причине они пришли к выводу, что модель [небесных] сфер не может быть таковой. Они также предприняли попытку показать, каким образом могут возникать наблюдаемые движения звезд и планет. Однако же, они устранились от этой трудной задачи, утверждая, что математики должны исследовать этот вопрос, ибо в качестве исследователей природы и философов они не в состоянии это осуществить. Тем не менее, математики также утверждают, что они, в качестве математиков, не обладают средствами для проведения этого исследования. Им достаточно создать возможную модель, в соответствие с которой возникают наблюдаемые движения звезд и планет по долготе и по широте, их стоянки, прямое и ретроградное движение. При этом для них не важно, соответствует эта модель природе ли нет, ибо математик, именно как математик, не в состоянии исследовать это [, т.е. он не способен соотнести математическую модель с действительными физическими явлениями].

В связи со сказанным возникает следующее затруднение: если достижение истины в этом исследовании [על אמתתה] недоступно ни математику, ни исследователю природы, ни философу, то кому же оно, в таком случае, доступно? Может быть такое исследование неподвластно ученым вообще?

Это затруднение мы предлагаем разрешить следующим образом. Хотя данное исследование как таковое не относится к общей науке, исследующей существующее именно в качестве существующего, оно, тем не менее, рассматривает некое движущееся сущее, именно в качестве движущегося. Оно также не относится к науке о природе [, т.е. физике]. Ведь она [,т.е. астрономия,] исследует движущееся существующее именно в аспекте его движения, поскольку большинство, или даже все, ее доказательства, взяты из геометрии. Вообще же, [ее доказательства связаны] с необходимо вытекающим из соответствующей [астрономической] модели количеством движений (для объяснения которых была выдвинута именно такая модель). Она [,т.е. астрономия,] также не принадлежит полностью математике, ибо в данном случае [,т.е. в случае математики,] свойства [этой модели] могут считаться соответствующим наблюдаемым движениям [звезд и планет], но при этом они могут не соответствовать природе [,т.е. не соответствовать доказанному наукой о природе,] или философии. Таким образом истина в этом следовании может быть достигнута лишь всем упомянутым наукам вместе: математическая наука [должна] заниматься ее [,т.е. астрономии,] математические доказательствами, а наука о природе и философия — ее естественнонаучными и философскими доказательства. Однако же, единое исследование, именно как единое, не может быть распределено между представителями различных наук, ибо второй ученый не сможет обнаружить [возможные] недостатки в исследованиях первого, не ознакомившись прежде с тем, что доказал в отношение рассматриваемого вопроса первый учёный, определив таким способом, что в исследовании первого ученого было приведено к совершенству, а что нет. Но [, если прежде, чем преступить к собственному исследованию, второй ученый ознакомится с доказательствами первого ученого, ] то окажется, что второй [ученый] проводит это исследование в качестве представителя обеих наук. Сказанное совершенно очевидно читателю этой книги, и поэтому было бы излишним и ненужным продолжать объяснение.

Итак, данное исследование как целое должно проводиться человеком, являющимся одновременно математиком, исследователем природы и философом, ибо [лишь] такой [ученый] сможет осуществить это исследование, поскольку он использует все эти науки и берет из них все необходимое для проведения своего исследования. И поскольку эта книга именно такова, то есть она не ограничена исключительно математикой или естествознанием, или философией, становится понятно, что эта книга является полным исследованием данного вопроса.

Глава вторая

Показав, что эта книга в состоянии предложить полное исследование [науки астрономии], мы считаем нужным подробно рассказать об этом исследовании, ибо эта наука [,т.е. астрономия,] обладает огромной ценностью как сама по себе, так и в качестве средства постижения определенных вещей в других науках.

Ее самостоятельная ценность очевидна, ибо важность исследования определяется важностью исследуемого предмета, а предметом данного исследования [,т.е. астрономии,] как известно, является небесное тело, превосходящее своей значительностью все естественные формы. Также движущая его [,т.е. небесное тело,] форма — наиболее значительная из всех естественных форм. [Более того], они [,т.е. небесное тело и другие естественные вещи,] не соотносим, ибо термины «субстрат» и «форма» сказываются о нем [,т.е. о небесном теле,] и о других естественных вещах исключительно омонимически. Все это было доказано наукой о природе.

[Теперь рассмотрим утверждение, что] она способствует [постижению] других наук. Она дивным образом способствует [постижению] науки о природе и науки о Божестве [,т.е. метафизики,] ибо рассмотрение ее форм [,т.е. форм, тела которых, исследует астрономия,] есть плод и цель Божественной науки (благодаря этому рассмотрению лишь эта наука [,т.е. метафизика,] достойна названия Божественной). Она [,т.е. астрономия,] некоторым образом способствует постижению общественной философии, как показал Птолемей в первой книге Альмагеста.

Пророки и говорящие святым духом указали нам на необходимость подробного рассмотрения этого вопроса [,т.е. астрономии], ибо это рассмотрение, как будет доказано в дальнейшем, поможет нам постигнуть Господа, благословен Он. Ведь эти сферы, звезды и планеты созданы словом Господа, благословен Он. Это мы, с Божьей помощью, покажем в продолжение этого тома, рассматривая величие мудрости Господа, благословен Он, и величие Его силы в приведении к существованию, с такой дивной мудростью, этих значительных тел.

От них исходят различные эманации, благодаря которым возникает это низшее существование [,т.е. вещи подлунного мира]. Так происходит несмотря на то, что все они [,т.е. небесные тела,] обладают одинаковой природой, в которой не содержатся те качества, что эманируют от них. Он [,т.е. Бог,] устроил их так, что исполнение возложенного на них Господом, благословен Он, в день их творения не утомляет и не истощает их.

Поэтому и сказал пророк Ишаягу — «Поднимите глаза ваши в высоту (небес) и посмотрите: кто сотворил их? Тот, кто выводит воинство их счетом, всех их по имени называет Он; от Великого могуществом и (от) Мощного силой никто не скроется»[1]. Этим он хотел сказать — поднимите глаза ваши и взгляните не звезды, и постигните таким образом Создавшего их, ибо это [,т.е. изучение звезд,] поможет вам понять, что они были созданы, а также постичь их создателя. Ибо в их создании вы увидите величие мудрости и величие силы, проявляющиеся в том, что они наделены именами, отличающими их друг от друга благодаря различию в действиях, эманирующих от них к этому низшему миру. Каждая из них обладает великим могуществом и мощной силой для исполнения возложенного на них Господом, благословен Он, в день их творения. Говоря «Тот, кто выводит воинство их счетом» он [,т.е. Ишаягу,] имел в виду, что число небесного воинство, которое Он выводит от восточного горизонта, точно определено, дабы показать, что нет в его движении усталости и измождения. По этой причине мы всегда находим, что оно движется одинаковым образом.[2] Либо же «Тот, кто выводит воинство их счетом» означает, что воинство, которое Он выводит, таково числом, каким оно должно быть, дабы от него возникло то, что должно возникнуть. Итак, благодаря великой мощи Господа, благословен Он, не скрылась ни одна из звезд, необходимых для приведения к совершенству существующего [в подлунном мире]. [Сказанное нами] подобно основанию доказательства возникновения этих небесных тел, которое мы, с Божьей помощью, приведем в дальнейшем.

О том же говорил и Давид, описывая величие ступени [существования] Господа, благословен Он, — «Когда вижу я небеса Твои, дело перстов Твоих, луну и звезды, которые устроил Ты, (Думаю): что (есть) человек, что Ты помнишь его, и сын человеческий, что Ты вспоминаешь о нем?»[3]. Он хотел этим сказать: я вижу небеса Твои, о которых [все] знают, что они сотворены Твоими перстами, ибо в их творении — дивная мудрость, и, в особенности, в луне, звездах и планетах, которые Ты установил. И это мы, с Божьей помощью, покажем в дальнейшем. Сказанное в большей степени очевидно в отношение луны, чем в отношение других звезд и планет. Ведь хотя и луна, и звезды, и планеты обладают природой небесного тела [,т.е. природой эфира,] мы наблюдаем существенное отличие луны от других звезд и планет. Ведь тело луны — непрозрачно[4], и она получает свой свет от другого [светила], что, как будет показано, не свойственно другим звездам и планетам. Более того, сами части луны отличаются друг от друга, о чем мы можем судить по тени на теле луны [,т.е. по лунным «морям»]. Все они [звезды и планеты] обладают еще одним удивительным свойством: несмотря на то, что у всех них одна и та же природа, лучи различных звезд и планет отличаются друг от друга своим видом и цветом. Все это оказалось бы невозможным, если бы, как мы докажем в дальнейшем, эти небесные тела не были сотворены. Сколь же дивно, что Ты, в чудесном величии ступени [Своего существования], которое открывается нам в исследовании этих небесных тел, помнишь и заботишься о столь низком и малом творении — человеке. Все это должно заставить нас погрузиться в это поразительное исследование, приносящее столь дивный плод.

Это исследование столь величественно, что даже малое наше постижение в нем более желанно и значительно для нас, чем совершенное исследование [,т.е. постижение,] менее величественных и значительных вещей. И это совершенно очевидно в свете [наших знаний] о человеческом стремлении. Таким образом, понятно, что если мы сможем довести это исследование до наибольшего совершенства, разрешив все затруднения и сомнения, то оно окажется наиболее значительным и желанным [достижением человека]. Поэтому мы постараемся привести это исследование к совершенству всеми доступными нами способами.

Глава третья

От нас не должно сокрыться, что этот вопрос труден [для постижения] из-за сложности проведения необходимых этого исследования наблюдений. Это тем более верно в наше время, когда люди прекратили исследования в этой науке с помощью наблюдательных инструментов [כלי הבטה], удовлетворяясь тем, что утверждают [их] предшественники. По этой причине, мы не нашли у наших предшественников — со времен Птолемея и до наших дней — наблюдений, которыми мы могли бы воспользоваться в данном исследовании, за исключением собственных наблюдений аль-Батани, которые он считает верными. Однако, эти наблюдения нам неизвестны.

Более того, когда мы наблюдаем планеты, мы находим, что их движение и не свпадает с движением, описываемым моделью Птолемея. В каком-то аспекте в этой модели возникла путаница. Эта ошибка в них [,т.е. в определяемых моделью Птолемея движениях планет,] могла возникнуть либо из-за того, что их [,т.е. планет,] [действительный] апогей не соответствует вычисленному Птолемеем или, позднее, аль-Батани. Либо поскольку мера коррекции движения центра [תקון תנועת המרכז][5] не соответствует этим вычислениям. Либо поскольку мера коррекции движения аномалии не совпадает с этими вычислениям. Либо поскольку величина поправки склонения диаметра движения аномалии не совпадает с этими вычислениями. Либо поскольку местоположение планеты по долготе отличается от местоположения, определяемого этими вычислениями. Либо же потому, что местоположение планеты в движении аномалии отлично от местоположения, определяемого этими вычислениями. Либо же это происходит одновременно по нескольким, или всем, упомянутым причинам. В последнем случае путаница значительно усиливается, ведь тогда придется исказить ошибку, связанную в каждой из этих причин. Это чрезвычайно трудно и требует многочисленных наблюдений, которые позволят осуществить эту проверку [причин ошибочности модели Птолемея], как станет ясно в дальнейшем. Поскольку для этого необходимо столь значительное число наблюдений, по-видимому, они осуществимы лишь в течение чрезвычайно продолжительного времени, многократно превосходящего жизнь человека. Однако, даже проведение одного наблюдения сопряжено с трудностями, ибо в данном случае истинным наблюдением будет наблюдение планеты в соединении с одной из неподвижных звезд, местоположение которых нам известно. В таком наблюдении не может быть сомнения и неясности, ибо в нем не возникнет ошибки из-за облаков или воздушных испарений, через которые мы наблюдаем [небесные тела]. При таким наблюдении [,т.е. наблюдении соединения планеты с одной из неподвижных звезд,] у нас нет необходимости в каком-либо из наблюдательных инструментов и благодаря этому мы будет избавлены от возможной ошибки. Тем не менее, такое наблюдение доступно лишь изредка, и таким образом невозможно провести многочисленные наблюдения, которые необходимы нам, чтобы установить, в чем именно заключается расхождение между наблюдаемым местоположением планеты и [ее местоположением], определяемым моделью Птолемея.

Ты найдешь, что все предшественники Птолемея осуществляли проверку [своих выводов] с помощью этих упомянутых нами наблюдений [,т.е. соединений планет с неподвижными звездами], ибо они понимали, что в таких наблюдениях не случаются ошибки. Если бы мы захотели воспользоваться для наблюдений созданным Птолемеем инструментом, предназначенным для определения местоположения любой звезды в любое время, а именно, инструментом состоящим из колец[6], то проеденные с помощью этого инструмента наблюдения были бы недостоверны. Ведь при его изготовлении случаются ошибки. Сделать его настолько трудно, что в нашей стране невозможно найти ремесленника, способного изготовить этот инструмент с точностью. Очевидно, что если в при изготовлении этого инструмента будет совершена ошибка, это приведет к ошибке в производимых с его помощью наблюдениях. И даже если мы примем, что есть [мастер, способный изготовить точный инструмент,] все же может случиться, что покинув ремесленника инструмент погнется, то есть погнутся некоторые, или все, круги [этого инструмента]. По этой причине мы не будем в наших сужениях об истинном [положении планет] полагаться на такой инструмент. Более того, наблюдать сквозь его отверстия чрезвычайно трудно, практически невозможно. Ты это поймёшь, если попытаешься наблюдать какую-нибудь из не слишком ярких звезд сквозь два отверстия алидады астролябии [לוח אצטורלאב . Алидада (позднелат. alidada, от араб. аль-идада — линейка) — деталь астрономических и геодезических угломерных инструментов, вращающаяся вокруг оси, проходящей через центр лимба. С помощью двух верньеров или микроскопов, расположенных на противоположных концах алидады, производятся отсчёты угловых делений лимба.

Лимб — плоское металлическое кольцо, разделённое штрихами на равные доли окружности — например, градусы, минуты или др. Это наиболее важная часть угломерных инструментов (астрономических, геодезических, физических и др.), служащая для отсчётов величин углов. Деления на лимбе отсчитываются с помощью Верньеров или микроскопов-микрометров.

Веньер — в приборостроении это приспособление для точного отсчёта длин или углов по делениям шкалы. Действие В. основано на способности глаза уверенно устанавливать совпадение двух штрихов, когда один из них является продолжением другого и концы их совпадают. В. представляет собой подвижную шкалу, которая может скользить вдоль основной; деления на подвижной шкале несколько более мелкие, чем на основной.] . Из сказанного ясно, что пользуясь этим инструментом невозможно [перейти к] наблюдению [одной] неподвижной звезды через короткий промежуток времени послед наблюдения другой, без того чтоб за время, прошедшее между этими двумя наблюдениями, неподвижные звезды не переместились на ощутимое расстояние. Таким образом, ясно, что с помощью этого инструмента нельзя определить расстояние одних наблюдаемых звезд от других. Более того, даже если мы примем возможность проведения наблюдений таким способом [,т.е. с помощью астролябии Птолемея], или же первым упомянутым нами способом [,т.е. чрез соединение планеты с неподвижной звездой], мы должны прежде этого знать местоположение той звезды, которая позволит нам определить местоположение планеты. Но в настоящее время это [,т.е. местоположения звезд,] вызывают такое же сомнение, как и местоположения планет. Ведь и поныне существую огромные затруднения, связанные с движением неподвижных звезд, вызвавшие серьёзные расхождения во мнениях среди [наших] предшественников. Все это заставляет усомниться [в принятом] местоположении неподвижных звезд.

Если же мы решим определить местоположения звезд с помощью астролябии или квадранта [רביע העגול], определяя их высоту [над горизонтом] в время прохождения ими меридиана [קו חצי היום], как сказано в книге, описывающей использование астролябии, такое наблюдение окажется [лишь] приблизительным по ряду причин.

Во-первых, неверно изготовленный инструмент в соединении с незначительной ошибкой в определении высоты приведут к большой ошибке [в конечном результате]. Исследовав все оказавшиеся в наших руках инструменты, мы обнаружили в них серьёзную погрешность, доходящую до 1 градуса, которая возникла при их изготовлении. Эта ошибка могла произойти либо из-за неправильного деления на градусы [,т.е. неверного нанесения градусов на астролябию,] либо из-за того, что диаметр инструмента отклонен влево или вправо, либо из-за алидады, на которой расположены два ползунка с отверстиями [דפין].

[Это может произойти, если] отверстия располагаются так, что соединяющая их линия не параллельна линии алидады, указывающей на высоту [גובה] в том месте, где она пересекает градусы астролябии. Ошибка может возникнуть любым указанным образом, а когда все эти ошибки, или некоторые из них, соединятся, они приведут к серьёзной ошибке в определении местоположения звезды или планеты.
Во-вторых, из-за малой величины [разметки] градусов [на астролябии] возможно лишь приблизительно определить часть градуса.
В-третьих, с помощью такого инструмента возможно осуществлять лишь приблизительные наблюдения. Ведь возможное отклонение[7] может превосходить 10 градусов, в особенности если [звезда или планета] находится на [значительной] широте в Близнецах или Раке, либо в Стрельце или Козероге, ибо с помощью подобных инструментов там невозможно определить [различие] в склонении [נטיה] сферы зодиака при [долготе] в пределах от 10 градов в сторону уменьшения и до 10 градусов в сторону увеличения [от лини соединяющей начало Рака и начало Козерога]. Я хочу сказать, что от 20 [градусов] Близнецов и до 10 градусов Рака невозможно определить склонение с помощью таких инструментов . Поэтому в данном месте [ эклиптики] небольшая ошибка в [определении] высоты звезды или планеты приведет к значительной ошибке в [определении] местоположения звезды или планеты по долготе.
Тебе следует знать, что определение склонения звезд и планет, как показывают многочисленные наблюдения, по сей день далеко от совершенства. Ведь если мы, пользуясь вычислениями Птолемея, через высоту наблюдаемой звезды или планеты определим ее склонение, возникнет значительная ошибка. Более того, мы не сможем с помощью высоты определить ее местоположение по долготе, если мы сперва не найдем величину склонения к северу или югу, соответствующую этому местоположению по долготе. Из сказанного с необходимостью следует, что мы, прежде чем с помощью подобных инструментов преступить к нахождению местоположения по долготе, должны узнать местоположение по долготе, что абсурдно. Поскольку, как мы показали, постичь это трудно, и поскольку опыт многократно нам доказывал, что [действительное] движение звезд и планет, а также и их склонения, не совпадают с рассчитанными в соответствие с моделью Птолемея, мы постарались создать инструмент, который исключает [возможность] ошибки как при его создании, так и при [его использовании в] наблюдении. Мы решили воспользоваться этим инструментом для некоторых весьма полезных в настоящем исследовании наблюдений. С Божьего соизволения, с его помощью мы придём к истинной модели звезд и планет, дабы определяемые на ее основании движения звезд и планет совпадали с наблюдаемыми.
Мы не хотели откладывать [написание этого астрономического исследования] до окончания всех необходимых для него наблюдений, и ограничились небольшим числом наблюдений, из которых приложив значительные усилия, мы сможем извлечь необходимое нам для наибольшего возможного приближения к истинной [астрономической] модели. [Мы поступили так,] поскольку страшились, чтоб эта наука не пострадала из-за нашей смерти [прежде завершения всех необходимых наблюдений], а также из-за сложность и глубины тех способов [исследования], что привели нас к обнаружению истины; ибо, решись мы привести их здесь, наше сочинение оказалось бы чересчур длинным. Мы решили не описывать все те способы [исследования], которые привели нас к силлогизмам механики [הקשים תחבולתיים] в объяснениях, относящем к каждой из планет, так как это удлинило бы наше сочинение сверх всякой меры. В добавок такое рассмотрение было бы слишком сложным: оно не только не принесло бы пользы читателю, но и отвратило бы его от этих вещей своей пространностью пространности и [чрезмерной] глубиной. Поэтому мы упоминаем лишь некоторые из них [,т.е. некоторые из способов исследования,] дабы благодаря этому совершенный исследователь смог [самостоятельно] сформулировать силлогизмы механики [הקשים תחבולתיים], с помощью которых можно прийти к нашим объяснениям [движения] каждой из планет. Итак, мы, вне всякого сомнения, показали истинность выдвинутой нами для каждой из планет модели, а также невозможность существования иной модели, соответствующей наблюдаемым движениям звезд и планет по долготе и по широте. Этого читателю будет достаточно, ибо нет большой пользы в этих сложных исследованиях, позволяющих сформулировать необходимые для данного исследования силлогизмы механики. [Они полезны] лишь как предпосылки, [необходимые] для обретения истины в настоящем исследовании, однако сверх того в них нет большой пользы — разве для тех, кто ищет славы.
Если Господь пожелает и наделит нас [долгой] жизнью для завершения необходимых для этого [исследования] наблюдений, благодаря которым мы сможем с большей лёгкостью истолковать эти вопросы, то мы, с Божьей помощью, вернемся к рассмотрению упомянутых вопросов на основании этих наблюдений в другой книге, или же в этой же самой этой книге, если успеем прежде, чем она распространится [различных] странах. Ибо тогда [,т.е. после проведения всех необходимых наблюдений,] мы сможем в подробностях описать те способы, которыми были сформулированы силлогизмы механики, избегая [при этом излишней] глубины рассмотрения и излишней пространности объяснения.
Прежде, чем перейти к рассказу об этом [нашем] инструменте, мы приведем некоторые полезные замечания, относящиеся ко всем нашим исследованиям [, помогшим создать] этого инструмента и ко всем движениям, определяемым каждой из моделей [движения планет], которые могут быть сформулированы таким образом, что на их основании станет возможно определить наблюдаемые движения планет — [их] быстрое [движение], замедленное, прямое движение и ретроградное. Вместе с этим мы рассмотрим дуги и хорды [или синусы], без которых невозможно приступить к настоящему исследованию. И хотя в данном отношении достаточно сказанного Птолемеем в книге «Альмагест», мы не хотим, чтоб наша книг была лишена чего-либо необходимого для этого исследования. Ведь может статься, что она попадет в руки человеку, в распоряжении которого не будет книги «Альмагест», и [как следствие] он будет лишен пользы этой книги. По той же причине мы решили рассмотреть в нашей книге некоторые вопросы, для [понимания] которых достаточно сказанного Птолемеем, как то восхождение зодиакальных знаков — прямое и косое и другие подобные вещи.

Глава четвертая

Эта глава состоит из трех частей.

Первая часть разъясняет некоторые используемые нами термины.
Тебе следует знать, что все астрономы [חכמי המזלות] делят дугу окружности круга на 360 частей, каждая из которых называется градусом. Каждый градус делится на 60 частей, называемых минутами, или первыми [частями], а каждая из них [в свою очередь] делится на 60 частей, которые называются секундами. Таким же образом секунды делятся на третьи [части], а третьи — на четвертые, и это деление продолжается до бесконечности в зависимости от требующейся точности.
Сферу зодиака сначала разделили на 12 равных частей, каждая из которых называется «знаком». Знак делится на 30 градусов. Таким образом, [число] градусов сферы [зодиака] оказывается равным 360. Диаметр круга разделили на 120 градусов, несмотря на то, что число этих градусов отличается от числа градусов окружности.
Любая часть окружности называется дугой, а прямая линия, соединяющая два конца дуги именуется хордой — [хордой] этой дуги или дуги оставшейся части окружности. Линия, соединяющая центр этой хорды с центром этой дуги называется стрелкой [חץ] к середине дуги, или версинусом [מיתר נזור — versine — обратный синус]. Половина хорды именуется синусом [נוכחות] половины этой дуги, или полухордой. Евклид объясняет, что упомянутый нами версинус находится к синусу под прямым углом, а также лежит на прямой диаметра круга, то есть если мы продлим эту прямую до другой стороны окружности, она пройдет через центр круга.
Движение, которое Птолемей приписывает эпициклу [גלגל ההקפה], мы называем движением аномалии [תנועת החילוף]. Место, именуем Птолемеем апогеем [גובה], мы ради терминологического единообразия также [как он] называем апогеем, но смысл [нашего термина] иной — этом место может не быть от земли дальше, чем прочие части сферы.
Часть вторая. В ней мы приведем некоторые геометрические доказательства, которые дадут нам необходимые знания о дугах и хордах. Хорда дуги тождественна хорде оставшейся [, т.е. комплиментарной,] дуги этого круга. Ты увидишь это, если начертишь круг этой дуги полностью. Тогда тебе станет ясно, что одна и та же хорда принадлежит всем этим дугам [,т.е. двум дугам]. Из этого также понятно, что полухорда некоей дуги является и полухордой дуги, оставшейся из 180 градусов.
[Теорема] Квадрат хорды [המרובע ההווה ממיתר קשת] некоей дуги равен площади [фигуры], ограниченной хордой этой дуги и диаметром, [пересекающимися] под прямым углом. Приведем пример. Пусть имеется дуга АБ, хордой которой служит линия АБ, диаметром окружности — прямая линия АГ, а линия АД этой прямой — версинус дуги АБ. Я утверждаю, что [результат] умножения прямой АБ на саму себя [הכאת הקו בעצמו] равен произведению прямых АД и АГ.
Доказательство. Продолжим дугу АБ до [точки] Г, чтобы дуга АБГ стала полукругом, а также проведем прямые линии БГ и БД. Очевидно, что угол АБГ, как и угол БДА, прямой, поскольку линия БД — это синус [נוכחות] дуги БА, а синус образует прямой угол с диаметром. Я утверждаю, что треугольники АДБ и АБГ подобны [מתדמים], так как углы АДБ и АБГ прямые, а угол А принадлежит обоим треугольникам. Остававшийся угол АБД треугольника АДВ равен оставшемуся в треугольнике АБГ углу АГБ. Из сказанного ясно, что треугольники АДБ и АБГ подобны, а их стороны, прилежащие к равным углам, — пропорциональны [מתייחסים]. Поэтому линия АД треугольника АДБ относится к линии АБ треугольника АБГ так же, как линия АБ треугольника АДБ к линии АГ треугольника АБГ. Поскольку дело обстоит таким образом, очевидно, что произведение второго и третьего, то есть [результат] умножения линии АБ на саму себя, равен произведению первого и четвёртого, то есть произведению линии АД и линии АГ. Это мы и хотели доказать.
Из этой фигуры понятно, что если известна величина линии БА, то можно узнать величину линии АД следующим образом. Поскольку известна величина линии БА, известен и ее квадрат. Когда мы разделим его на величину линии ГА, чья величина известна, поскольку она является диаметром окружности, а он считается равным 120 градусам, мы получим линию АД. Эта фигура показывает, что если известна величина линии АД, то известна и величина линии БА. Ибо если известна величина линии АД, то известно произведение линии АД и линии АГ, поскольку, как уже было сказано, величина линии АГ известна. Квадратный корень этого произведения будет величиной линии АБ.
Я также утверждаю, что если известна хорда или версинус некоей дуги, то известен и синус этой дуги. Ведь с помощью одного из них можно определить другой, а с помощью их обоих можно найти синус, поскольку квадрат хорды равен [сумме] квадратов версинуса и синуса. Это понятно из предшествующей фигуры, так как угол БДА прямой, квадрат линии БА равен квадратам линий БД и ДА, и линия БД — это, очевидно, синус дуги БА. Из сказанного ясно, что вычтя квадрат известной нам линии АД из квадрата линии АБ, мы узнаем остаток, а взяв его квадратный корень мы найдем [линию] БД. Это можно доказать иным, более легким способом. Мы утверждаем, что если известен версинус, можно узнать и синус, а именно, если в предшествующей фигуре известна величина линии АД, то можно определить величину линии ДБ. Ведь, как было доказано, треугольники АДБ и БДГ подобны, поскольку, как говорилось выше, углы АДБ и БДГ прямые, а угол АБД равен углу Г, и [поэтому] угол А равен углу ГБД. Из сказанного ясно, что грани этих треугольников, противолежащие равным углам, пропорциональны. Поэтому линия АД треугольника БДА относится к линии БД треугольника БДГ так же, как линия БД треугольника БДА относится к линии ГД треугольника ГДБ. Из сказанного ясно, что произведение первого и четвёртого равно произведению второго и третьего, то есть произведение линии АД и лини ДГ равно линии ДБ умноженной на саму себя. Таким образом, понятно, что линия ГД известна, поскольку известна линия АД. Линия АГ, служащая диаметром окружности, известна, и, следовательно, известна линия ГД. Таким образом, ясно, что произведение линии АД и линии ДГ известно. После извлечения квадратного корня из этого произведения мы получим линию БД, и тем самым установим величину линии БД, что мы и намеревались доказать.
Из сказанного ясно, что если известна хорда некоей дуги, то известна и хорда дуги, полученной удвоением этой дуги. Из нее можно определить синус этой хорды, а удвоив его мы получим хорду удвоенной дуги. Я также утверждаю, что если известен версинус некоей дуги, то можно найти комплиментарную хорду [מיתר השלמות] в 180 градусах. Ведь, [возвращаясь] примеру предшествующей фигуры, если известна линия АД, мы можем узнать линию ГД, являющуюся остатком диаметра. А узнав величину линии ГД, мы, как было сказано выше, определим с ее помощью величину хорды БГ.
[Теорема:] Если прибавить версинус некоей дуги к синусу комплиментарной дуги в 90 градусах, сумма будет равна полудиаметру. Пусть имеется дуга АБГ [величиной] 90 градусов с центром в точке З, где версинус дуги АБ — это линия АД, а синус дуги БГ — линия БЕ. Я утверждаю, что сумма двух линий — АД и БЕ равна полудиаметру.
Доказательство. Проведем линию БД между двумя точкам — Б и Д. Линия БД, очевидно, является синусом дуги АБ. Продлим линию [АД] до точки З, являющейся центром круга, ибо дуга всегда проходит через диаметр круга. Проведем также прямую линию ГЕЗ. Очевидно, линия ГЕЗ — это одна прямая линия, поскольку линия ГЕ это версинус дуги БГ, а версинус, как доказал Евклид, необходимым образом расположен на прямой диаметра круга. Понятно, что угол АЗГ прямой, так как дуга АБГ — это четверть круга. И поскольку углы АДБ и ГЕБ также являются прямыми, то, как следует из сказанного Евклидом, линии БД и ЕЗ параллельны. Таким же образом дело обстоит и с линиями БЕ и ДЗ. Из сказанного ясно, что эти параллельные линии равны, и, следовательно, линия БЕ равна линии ДЗ. А поскольку две линии — АД и ДЗ составляют полудиаметр, их [сумма], очевидно, равна полудиаметру, что мы и хотели доказать. Из этого вытекает, что если известен версинус некоей дуги, то известен и синус комплиментарной [дуги] в 90 градусах. Обратное также верно: если известен синус некоей дуги, то комплиментарная дуга в 90 градусах также известна. Это мы и намеревались доказать.
[Теорема] Мы хотим доказать, что версинус дуги, большей чем 90 градусов, равен сумме синуса дуги 90 градусов, являющегося полудиаметром, и синуса той [части] дуги, что превышает 90 градусов. Например, пусть дуга АБГ с центром З превышает четверть круга. Ее часть — дуга АБ — составляет 90 градусов. Версинус дуги АБГ — это линия АЗД, а синус дуги БГ — это линия ГЕ. Я утверждаю, что АЗД равна сумме полудиаметра и лини ГЕ.
Доказательство. Проведем линию ГД, являющуюся синусом дуги АБГ, и линию БЗ. Очевидно, что углы ГДЗ, БЗД и БЕГ — прямые. Из этого следует, что линии ЕГ и ЗД параллельны и равны. Из сказанного ясно — линия АЗД равна [сумме] двух линий АЗ и ЕГ, что мы и хотели доказать.
[Теорема] Если известны синусы и версинусы двух нетождественных дуг, то можно определить хорду дуги, равной этим двум дугам, а также хорду одной из комплиментарных дуг. Пусть, например, имеются две нетождественные дуги — АБ и БГ; из них дуга АБ — большая. Синус дуги АБ — это линия АЕ, а ее версинус — это линия БЕ. Синус дуги БГ — это линия ГЗ, а ее версинус — это линя БЗ. Очевидным образом, линия БЗ может лежать только на линии БЕ, так как оба версинуса идут из точки Б к центру круга. Начертим дугу БГД, равную дуге АБ, и проведем прямую линия АЕ до точки Д. Очевидно, эта линия достигнет точки Д по прямой, поскольку хорда дуги АБД делится пополам в точке Е, так что линия АЕ оказывается синусом дуги АБ. Из этого также ясно, что линия ЕД равна линии АЕ. Проведем из точки Г линию ГЖ перпендикулярную линии АД и достигающую точки Ж, если точка Ж не окажется, как во второй фигуре, между точками А и Д. Проведем прямые линии АГ и ГД; линия АГ служит хордой объединенной дуге АБ-БГ, а линия ГД хордой той части [объединенной] дуги, на которую АБ превосходит БГ, ибо, в соответствие с условием, дуга БГД равна дуге АБ. Я утверждаю, что если известны синусы и версинусы двух дуг АБ и БГ, которыми в данном примере являются линии АЕ, ГЗ, БЕ и БЗ, то известна и хорда дуги АБГ — линия АГ в настоящем примере. Также известна хорда той дуги, на которую дуга АБ превосходит дугу БГ — линия ГД в настоящем примере. Ведь квадрат хорды суммы двух дуг равен сумме квадрата линии, равной двум синусам двух дуг, и квадрата той части, на которую большой версинус превосходит малый, то есть в настоящем примере квадрат линии АГ равен сумме квадрата линии, полученной сложением линий АЕ и ЗГ, и квадрата линии ЗЕ. Эти квадраты известны, поскольку известны линии, являющиеся их корнями. Квадрат хорды дуги ГД равен сумме квадрата той части, на которую один синус превосходит другой, и квадрата той части, на которую один версинус превосходит другой. Ведь поскольку углы З, Е и Ж прямые, линии ГЗ и ЖЕ параллельны, как и параллельны линии ЗЕ и ГЖ. Поэтому они также равны, то есть линия ЖЕ равна ГЗ и линия ГЖ рана линии ЗЕ. Поскольку угол ГЖА прямой, линия ГА в квадрате, очевидно, равна сумме квадратов линий ГЖ и ЖА. Однако, линия ЖА рана сумме синусов дуг АБ и БГ, а линия ГХ равна линии являющейся разницей двух версинусов.
Из сказанного ясно, что квадрат хорды суммы двух дуг равен квадрату линии, полученной сложением двух синусов двух дуг, сложенному с квадратом той части, на которую большой версинус превосходит малый. Подобным образом на основании этой фигуры можно показать, что квадрат хорды той дуги, на которую большая дуга превосходит малую, равен этим двум квадратам, то есть сумме квадрата той части, на которую один синус превосходит другой, и квадрата той части, на которую один версинус превосходит другой. Ведь в этом примере, линия ГД в квадрате, очевидно, равна сумме квадратов линий ГЖ и ЖД, где линия ЖД, очевидно, равна той части, на которую один синус превосходит другой, а линия ГЖ равна той части, на которую один версинус превосходит другой. Это мы и намеревались доказать
[Теорема] Мы хотим доказать, что если известен синус некоей дуги, то можно определить версинус этой дуги. Ведь известно расстояние синуса от центра, а на основании этого можно найти версинус. Например, пусть известен синус дуги АБ — линия АЕ. Центром круга является точка Д. Проведем линию БЕ на прямой диаметра круга, так что центр круга будет лежать на нем между точками Б и Е, если дуга АВ превосходит четверть круга. В первой фигуре это линия БДЕ, а во второй фигуре — это линия БЕД. Центр будет расположен после точки Е, если дуга АБ меньше четверти круга. В этом случае будет известен версинус — это линия ЕБ, поскольку она равна полудиаметру круга.
Если же точка Е не совпадает с центром круга, то я утверждаю, что возможно определить величину [линии] ЕД. Мы можем провести линию АД, равную, как мы знаем, полудиаметру, и вычесть квадрат линии АД, который можно узнать из квадрата известной нам линии АЕ. Квадратный корень остатка будет равен линии ДЕ, и, таким образом, мы определим линию ДЕ.
Поскольку линия БД известна, ее остаток — БЕ также известен. Из сказанного ясно, что дуга АБ в первой фигуре больше четверти круга, поскольку угол БДА превосходит внутренний угол Е треугольника АЕД. Однако, угол Е — прямой, а из этого с необходимостью следует, что угол БДА тупой, и, значит, дуга БА больше четверти круга. Подобным образом можно показать, что во второй фигуре угол БДА острый, а из этого с необходимостью следует, что дуга БА меньше четверти круга. В отношение этой фигуры также ясно, что версинус дуги меньшей, чем четверть круга, в этом примере меньше полудиаметра на величину линии ДЕ, а версинус дуги, превосходящей четверть круга, нашим примере превосходит полудиаметр на величину линии ДЕ.
[Теорема.] Поскольку, как мы показали выше, на основании версинуса можно определить хорду дуги, то из этой фигуры понятно, что если известна хорда некоей удвоенной дуги, то известен и синус этой дуги.
[Доказательство.] Если известен синус дуги, также известна и хорда этой удвоенной дуги, так как синус равен половине этой хорды, а хорда этой дуги известна через синус, что мы и хотели доказать.
Третья часть. В ней мы приведем указания для создания таблиц, с помощью которых можно определить синус и версинус любой дуги, и наоборот.
Мы уже показали, что зная синусы и версинусы любой дуги до 45 градусов, можно определить все [возможные] синусы и версинусы. Например, пусть будет известен синус и версинус 1/4 градуса. Мы утверждаем, что версинус и синус дуги (90 — 1/4) градусов также известны. Ведь, как было показано в предшествующей части, сумма версинуса второй дуги и синуса первой равна полудиаметру. То же верно и в отношение суммы синуса второй дуги и версинуса первой дуги. С помощью версинуса и синуса второй дуги можно определить версинус и синус дуги (90 — 1/4) градусов. Ибо ее синус тождественен синусу второй дуги, а сумма ее версинуса и версинуса второй дуги равна диаметру круга. С помощью версинуса и синуса первой дуги можно узнать версинус и синус [дуги] (180 — 1/40) градусов, поскольку ее синус тождественен синусу первой дуги, а сумма ее версинуса и версинуса первой дуги равна диаметру круга. Подобным образом можно показать, что если известны синусы и версинусы дуг до 45 градусов, можно определить синусы и версинусы прочих дуг.
Поскольку в предшествующей части мы разъяснили, как с помощью известного найти неизвестное во всем, что касается синусов и версинусов, здесь мы примем, что читателю этой книги известны [величины] трех хорд. Первая хорда принадлежит дуге 180 градусов, ибо ее величина равна диаметру круга, а на основании этого можно определить синус и версинус [дуги] 90 градусов, поскольку каждый из них равен полудиаметру, так как он выходит из центра [круга] и достигает окружности. Вторая хорда — 60 градусов, так как ее величина равна полудиаметру круга. Это достаточно легко понять — ведь еще Евклид доказал это. Поэтому синус дуги 30 градусов равен четверти диаметра. Ее версинус, как следует из сказанного выше, равен 8 градусам, 2 минутам, 18 секундам, 30 третьим и 46 четвертым в наибольшем приближении [בקרוב מועט]. Третья хорда — это сторона десятиугольника и хорда дуги 36 градусов. Ведь, как показал Евклид, если сложить сторону десятиугольника с четвертью диаметра круга, квадрат их суммы будет равен сумме квадратов полудиаметра и четверти диаметра. Таким образом, хорда дуги 36 градусов равна 37 градусам, 4 минутам, 55 секундам, 20 третьим и 30 четвертым в наибольшем приближении. Из этого синус дуги 18 градусов равен 18 градусам, 32 минутам, 27 секундам, 40 третьим и 15 четвертым в наибольшем приближении. Из сказанного выше ясно, что ее версинус равен 2 градусам, 56 минутам, 11 секундам, 45 третьим и 58 четвертым. Таким образом, из сказанного ранее понятно, что с помощью синуса дуги 90 градусов мы можем определить синусы и версинусы дуг 45 градусов, 22 1/2 градуса, 11 1/4 градуса. С помощью синуса дуги 30 градусов мы можем найти синусы и версинусы дуг 15 градусов, 7 1/2 градуса и (4 — 1/4) градуса. С помощью синуса дуги 18 градусов мы можем определить синусы и версинусы дуг 36 градусов, 9 градусов, 4 1/2 градуса и 2 1/4 градуса.
Из предшествующего также ясно, что с помощью синуса дуги 30 градусов и синуса дуги 18 градусов и их версинусов можно узнать синус половины суммы этих дуг, а именно 24 градусов, а с его помощью мы можем определить синусы и версинусы 12 градусов, 6 градусов, 3 градусов, 1 1/2 градуса и 3/4 градуса. Используя приведённые нами синусы мы сможем с легкостью определить все синусы всех дуг с интервалом 3/4 градуса. Например, с помощью синусов и версинусов дуг 15 градусов и 1 1/2 градуса мы можем определить синус дуги 8 1/4 градусов, а с помощью синусов и версинусов дуг 8 1/4 и 1 1/2 градусов мы найдем синус (10 — 1/4) градуса. Подобным образом мы сможем узнать все остальные [синусы и версинусы].
Мы можем найти синус дуги 1/4 градуса с помощью силлогизма механики [הקש תחבולי] следующим образом. Из синуса 8 1/4 градуса мы можем определить синус дуги 4 1/8 градуса. Таким способом мы будем продвигаться в сторону уменьшения [величин дуг] пока не определим синус дуги (1/4 + 1/128) градуса. Двигаясь тем же способом от синуса дуги (4 — 1/4) градуса мы найдем синус дуги (1/4 — 1/64) градуса. Применяя этот способ мы нашил, что отношение синуса дуги (1/4 + 1/128) градуса к синусу дуги (1/4 — 1/64) градуса с большой степенью точности соответствует отношению одной из этих дуг к другой, и это отношение не нарушается даже в четвертых [ступенях деления градуса]. Поэтому мы установили, что синус 1/4 градуса равен 1 градусу, 15 минутам, 42 секундам, 28 третьим, 32 четвертым и 7 пятым. На основании этой [величины] мы сможем определить все остальные синусы. Ибо с помощью синусов дуг 1/4 градуса и 3/4 градуса мы можем найти синусы дуг 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 и 32 градусов. Из синусов дуг 1/2 градуса и 2 градуса мы можем вывести синусы дуг 1 1/4, 2 1/2, 5, 10, 20 и 40 градусов. Тем же способом мы без труда приблизительно определим все синусы и версинусы до 45 градусов с интервалом 1/4 градуса, а с их помощью мы найдем все остальные [синусы и версинусы], о чем уже говорилось выше. Мы решили рассмотреть этим [способом] [значения синусов и версинусов] в интервалах 1/4 градуса, поскольку знание синусов с интервалом в 1 градус (а именно таким образом составлены многие таблицы) представляется нам недостаточным, ибо мы, пытаясь определить дугу соответствующую определённому синусу, в некоторых местах обнаружили ошибку, достигающую почти 15 минут дуги, в особенности, если эта дуга немого больше или немного меньше 90 градусов. Возьмем, например, синус 59 градусов, 59 минут и 52 секунды. Следуя таблицам с интервалом в 1 градус, соответствующая этому [синусу] дуга будет равна 89 градусам, 45 минутам и 27 секундам, если она меньше 90 градусов, а если она больше 90 градусов то соответствующая дуга будет равна 90 градуса, 14 минутам и 33 секундам. Из сказанного выше понятно, что будь это так, версинус дуги 14 минут и 33 секунды был бы равен 8 секундам. Однако выше мы уже показали, что когда величина версинуса равна 8 секундам, квадрат синуса этой дуги равен 15 минутам, 59 секундам, 58 третьим и 56 четвертым, ибо таков результат умножения 8 секунд на комплиментарную часть диаметра. Таким образом, величина синуса этой дуги размером 14 минут и 33 секунды окажется равной 30 минутам, 59 секундам и 52 четвертым, что ложно, поскольку этот синус соответствует дуге 29 минут 35 секунд. Таким образом, ясно, что дуга соответствующая упомянутому синусу больше или меньше 90 градусов на, приблизительно, 29 минут и 25 секунд. Поэтому ошибка другого способа [определения дуги по синусу] в данном случает превышает 15 минут. По этой причине мы решили создать наши таблицы с интервалом в 1/4 градуса, ибо таким образом при использовании этого соотношения не возникнет ощутимой ошибки.
Четвертая часть. В ней мы сформулируем таблицы для определения синуса и версинуса любой дуги, и наоборот [,т.е. для определения дуги по синусу и версинусу], а также объясним, как пользоваться этими таблицами.
Тебе следует знать, что эти таблицы содержат все синусы и все дуги с интервалом в 1/4 градуса, однако, мы не включили в них версинусы и хорды этих дуг. [Тем не менее,] с помощью этих таблиц можно определить хорду любой дуги, если ты сначала найдешь в них синус половины этой дуги. Удвоив его ты получишь хорду этой дуги. Благодаря этим таблицам можно определить версинусы всех дуг следующим образом: если величина дуги, версинус которой мы хотим определить, меньше 90 градусов, мы ищем в этих таблицах синус дуги, дополняющей дугу [, версинус которой мы хотим найти,] до 90 градусов. Искомый версинус будет [числом], дополняющим этот синус до полудиаметра. Если же величина дуги, версинус которой мы ищем, превосходит 90 градусов, то нам следует найти в этих таблицах синус той [части] дуги, которая превышает 90 градусов, и прибавить его к полудиаметру; таким способом мы получим искомый версинус. Применив обратный способ ты сможешь определить через версинус соответствующую ему дугу, то есть если он меньше 60 градусов, вычти его из 60 градусов и найди в этих таблицах, синусом какой дуги является остаток. Вычти эту дугу из 90 градусов; остаток — это соответствующая данному версинусу дуга. Но если версинус больше 60 градусов, найди для какой дуги остаток является синусом, прибавив к этой дуге 90 градусов ты получишь соответствующую этому версинусу дугу. Все это очевидно из сказанного нами во второй части этой главы. Если же известна дуга, и ты хочешь определить синус этой дуги, то найди в упомянутых таблицах эту дугу и против нее — соответствующий ей синус. Если ты не найдешь эту дугу в этих таблицах, то найди две ближайшие к ней дуги и возьми [в качестве синуса] среднее двух [указанных] против них синусов. Так же поступай, если не найдешь синус, через который ты хочешь определить соответствующую ему дугу. И поскольку, как легко понять из сказанного нами, чем ближе величина синуса к величине полудиаметра, тем больше ошибка при определении соответствующей ему дуги на основании пропорции двух ближайших к нему синусов, ты всегда должен находить дугу, соответствующую наименьшему синусу, когда одна из этих дуг позволяет определить другую. Например, если величина [,т.е. сумма,] двух дуг этих синусов равна 90 градусам, то через одну известную дугу можно определить вторую дугу, и в этом случае ты должен выбрать меньший синус меньшей дуги.
Теперь я расскажу об устройстве этих таблиц. Мы разделили таблицы на три колонки. Первая колонка содержит дуги до 90 градусов с интервалом 1/4 градуса. Во второй колонке записаны [дуги], комплиментарные до 180 градусов для дуг каждой из строк первой колонки. В третьей колонке содержится синус, соответствующий каждой из этих дуг. Таково строение таблиц.
Пятая часть. В ней мы расскажем, как определить углы и стороны треугольника, при условии, что некоторые их них нам известны.
[Теорема.] Если две стороны прямоугольного треугольника известны, то можно определить [оставшиеся] стороны и углы [этого треугольника].
[Доказательство.] Пусть имеется прямоугольный треугольник АБГ, две стороны которого известны. Я утверждаю, что можно определить оставшиеся углы и стороны. Ведь какие бы две из его сторон ни были известны, можно узнать третью стороны, поскольку квадрата гипотенузы, равен сумме квадратов оставшихся сторон. Поэтому если они [,т.е. катеты,] известны, известна и она [,т.е. гипотенуза]. А если из известна она [,т.е. гипотенуза,] и одна из оставшихся [сторон, т.е. катетов,] то можно узнать третью сторону [, т.е. катет], так как он равна разнице квадрата гипотенузы и квадрата другой известной стороны.
Допустим, что угол АБГ прямой, и две его стороны [,т.е. катета,] АГ и БГ известны. Я утверждая, что можно определить угол БАГ. Пусть точка А будет центром, проведем дугу ГЗ с радиусом АГ и начертим прямую линию АБЗ. Из сказанного выше понятно, что линия БГ — это синус дуги ГЗ. А поскольку обе линии АГ и БГ известны, ясно, что величина линии БГ известна, линия АГ — это полудиаметр 60 градусов. Эта величина известна из таблицы дуг и синусов для дуги соответствующей линии БГ, [взятой] как синус. И когда таким способом будет найдена дуга ГЗ, можно будет найти угол БАГ, в соответствие объяснением Евклида. А через него [,т.е через угол БАГ,] ты найдешь угол БГА, ибо этот угол — комплиментарный до 90 градусов, так как углы БАГ и БГА вместе составляют 90 градусов.
Теорема.] Если известны [все] стороны любого треугольника, то можно определить его углы.
[Доказательство.] Пусть стороны треугольника АБГ известны. Я утверждаю, что можно определить его углы. Проведем перпендикуляр БД из точки В к прямой АГ. В первой фигуре точка Д окажется внутри треугольника, а во второй фигуре она будет за пределами треугольника. Я утверждаю, что возможно определить величину линии ГД. Ведь если мы вычислим разницу суммы квадратов линий ГБ и ГА и квадрата лини АБ в первой фигуре, или разницу квадрата линии АБ и суммы квадратов линий ГБ и ГА во второй фигуре, и разделим ее на удвоенную линию ГА, результат будет равным линии ГД. Это легко понять из Второй книги Евклида. Итак, найдена величина линии ГД. А поскольку квадрат [теперь] известной нами линии ГБ превосходит квадрат линии БД [на величину квадрата линии ГД], — найдена величина линии БД. Поэтому, как мы показали выше, можно найти углы прямоугольного треугольника БДГ. Таким образом, в первой фигуре можно определить угол БГА и одну часть угла ГБА, а именно, угол ГБД, а во второй фигуре можно узнать угол БГА через известный угол БГД, являющийся его комплиментарным углом в двух прямых углах [,т.е. в 180 градусах]; и также можно найти угол ГБД. Более того, поскольку линии АГ и ГД известны, можно также определить величину линии АД. Из сказанного следует, что у прямоугольного треугольника БДА, чьи стороны известны, известны также [также] углы, и, следовательно, угол БАД известен в обеих фигурах. Можно узнать оставшийся в треугольнике угол ГБА, поскольку угол ГБД известен и угол ДБА известен. Из этого легко понять, что угол ГБА известен в обеих этих фигурах. Таким образом, ясно, в треугольнике АБГ, чьи стороны известны, известны также и углы. Это мы и намеревались доказать.
[Теорема.] Если известны две линии и один угол любого треугольника, и одна из известных сторон прилежит к этому углу, то можно определить оставшиеся углы и третью сторону.
Пусть известны две стороны треугольника АБГ — АБ и БГ, а также известен угол БАГ. Я утверждаю, что возможно определить сторону АГ и оставшиеся углы. Опишем окружность БАГ вокруг треугольника БАГ, и примем, что диаметром этой окружности является линия АГ. Поскольку угол БАГ известен и он вписан в окружность, в которой два прямых угла являются частью 360, мы можем определить дугу БГ. Величину хорды этой дуги можно узнать из таблицы дуг и синусов в той величине, где линия АД равна 120, и, таким образом, будет известно отношение линии БГ к линии АД. А поскольку отношение линии АГ к линии АБ также известно, известно и отношение линии АБ к линии АД. Следовательно, известна линия АБ, когда линия АД равна 12 градусам, а на основании этого можно определить дугу АБ в таблице дуг и хорд. Поскольку обе дуги — БГ и АБ — известны, можно узнать оставшуюся дугу, то есть дугу ГА, а через нее установить угол ГБА и линию ГА описанным ранее способом. Таким образом, ясно, что в треугольнике АБГ известны его стороны и углы, что мы и хотели доказать.
Из приведённого доказательства тебе должно быть понятно, что если принять диаметра круга равным 60 градусам, а окружность — 180 градусам, не будет необходимости вычислять хорды этих дуг с помощью таблицы дуг и хорд, поскольку [для этой цели] достаточно [таблицы дуг и] синусов, так как [в данном случае] синус — это полухорда удвоенной дуги. Синус любой дуги относится к половине диаметра окружности так же, как хорда удвоенной дуги к диаметру окружности. В настоящем доказательстве ради краткости мы воспользовались второй возможностью. Мы упомянули это здесь, дабы тебя не смутили строящиеся на этом последующие доказательства. Из настоящей теоремы [תמונה] с очевидностью следует, что стороны любого треугольника с прямыми сторонами [,т.е. прямоугольного треугольника ??,] относятся друг к дугу так же, как относятся друг к другу синусы противолежащих им углов. Из сказанного легко понять, что если углы треугольника с прямыми сторонами известны, а также известна величина одной из этих сторон, то можно определить величины остальных сторон, так как мы знаем их отношение к известной стороне.
[Теорема.] Если известны две стороны любого треугольника, а также известен угол, к которому прилежат эти известные стороны, то можно определить оставшиеся углы и стороны.
[Доказательство.] Пусть имеется треугольник АБГ, две стороны которого — АБ и БГ — известны, и также известен угол АБГ. Я утверждаю, что можно определить также сторону АГ и оставшиеся углы. Если угол АБГ прямой, то это очевидно из сказанного выше. А если этот угол будет острым, как в первой фигуре, или тупым, как во второй фигуре, то можно определить сторону АГ следующим образом. Проведем из точки А линию АД, перпендикулярную линии БГ, которую мы сочтём бесконечной. В любом случае очевидно, что угол АБД известен, поскольку известен либо угол АБГ, либо комплиментарный ему угол в двух прямых углах [,т.е. в 180 градусах]. Остается угол ДАБ, который также известен, поскольку он является комплиментарным в прямом углу. Таким образом, величины всех углов и одной стороны треугольника АБД известны. Также оставшиеся стороны могут быть определены. Две стороны АД и ДГ также известны в обеих фигурах. Известна величина стороны АГ в прямоугольном треугольнике АДГ, и поэтому известны углы треугольника АДГ, и, следовательно, известен угол АГД. Угол АБГ, в соответствие с условием, известен, поэтому можно определить оставшийся в треугольнике угол БАГ, так как он является комплиментарным в двух прямых углах. Это мы и намеревались доказать.

Глава пятая

Если луч солнца[8], луны либо любой светоносной звезды или планеты проходит сквозь окно, его [отражение] оказывается во всех направлениях шире отверстия на величину углового полудиаметра светила в месте, где находится окно [,т.е. в том месте, где находится наблюдатель]. Здесь мы принимаем это основоположение без доказательства [השורש המונח], но в дальнейшем докажем, что если бы светило было лишь точкой, исходящий от него луч не стал бы ощутимо шире, пройдя расстояние от окна до стены, воспринимающей этот луч . Поскольку расстояния от небесных тел до земли огромно, мы не воспринимаем это [расширение луча] вследствие малости этого расстояния [от окна до стены]. На самом деле, даже полудиаметр земли не существенен при [наблюдении] звезд[9] из-за величины расстояния от них до нас. И уж тем более [это не ощутимо] при столь малом расстоянии: ведь это [расширение луча света] скрыто от восприятия даже в случае луны, которая к нам ближе всего. Все это мы, с Божьей помощью, полностью рассмотрим в дальнейшем.
[Теперь] мы приведем доказательство сказанному нами в начале [этой главы]. Начертим линию АБ на стене с окном; точка Е будет вершиной окна. Проведем линию ГД на стене, противоположной этой [стене с окном], на которую попадает луч, в том месте, куда должен упасть луч. Центром круга светила будет точка Х, а диаметром светила, параллельным линии АБ, будет линия ЗХТ. Линия, соединяющая центр светила и точку Е, пересекает ГД в точке Л — это прямая линия ХЕЛ. Из сказанного ясно, что луч должен упасть на точку Л, если светило является точкой. Однако, поскольку все части светила испускают свет, луч исходит [также] из точки Т на диаметре светила и проходя по прямой через точку Е достигает линии ГД в точке М. А так как линии ХЕЛ и ТЕМ пересекаются, угол МЕЛ равен углу ХЕТ, а эти углы являются угловым радиусом светила в том месте, где находится окно. Это же можно доказать для всех сторон окна, так как светило испускает свет из всех концов отмеченных на нем диаметров, на той его стороне, которая обращена к окну. Это мы и намеревались доказать.
Эта фигура показывает, что когда луч проходит через прямоугольное окно, он [,т.е. отражение, образованное лучем,] не будет прямоугольным, ибо он расширяется по всем сторонам углов на величину углового полудиаметра светила. Угол подобен четверти круга, чей центра — точка угла. Так обстоит дело, когда мы наблюдаем солнечные и лунные лучи, проходящие через прямоугольные окна. Ведь нет ощутимого различия между видимым размером солнца [, наблюдаемым] из точки окна, и тем его размером, который можно было бы воспринять из центра земли, по причине малости полудиаметра земли по отношению к огромному расстоянию между ней и солнцем (это мы, с Божьей помощью, докажем в дальнейшем). Благодаря этому мы определим величину солнечного диаметра на большом круге его вращения в момент наблюдения. Этот раздел [שער] [нашей книги] поможет нам достигнуть цели нашего исследования: таким способом мы сможем определить, сдвинута сфера солнце по отношению к центру земли или нет. Благодаря этому мы также определим величину эксцентричности [Солнца], если окажется, что оно сдвинуто по отношению к центру мира.
Из этой фигуры тебе должно быть понятно, что с ее помощью в момент затмения возможно определить величину скрытых затмением частей [? אצבעות] [светила]. Это в наибольшей степени очевидно, когда окно чрезвычайно мало. В таком случае отражение на воспринимающей луч стене по форме будет подобно луне, в соответствие с величиной затмения. Если ты вычтешь величину окна из диаметров наибольшего и наименьшего из лучей, ты найдешь, что остаток является отношением затемнённой части светила к его телу, ибо это отношение равно разнице наибольшего диаметра и наименьшего диаметра, или отношению наименьшего диаметра к наибольшему диаметру. Благодаря этому также можно показать, что когда затемнена одна сторона светила, луч [,т.е. отражение, создаваемое лучом,] окажется ущербным с противоположной стороны. Ведь, как ясно из нашего объяснения этой фигуры, верхняя часть светила будет в нижней части [отражения] луча на стене. Из сказанного следует, что в каждая его [,т.е. светила,] часть оказывается в противоположной части отражения. Это с необходимостью вытекает из наших слов.

Глава шестая

[В этой главе мы рассмотрим], как пользоваться этим инструментом, созданным нами для наиболее точных наблюдений. Но прежде мы должны определить, в какой части глаза располагается зрение, то есть где завершается угол [, которому противолежит] наблюдаемый предмет [,т.е. где находится вершина этого угла]. Нам следует сейчас рассмотреть это.
Мы утверждаем, что он [,т.е. центр зрения,] может быть либо в центре глаза, либо на периферии глаза [מקיף העין] — на внешней периферии или на внутренней периферии, или между двумя этими перифериями. Возможны только эти альтернативы, поскольку глаз, очевидно, является особым органом зрения.
Легко понять, что эти [центром зрения] не может быть внешняя поверхность [глаза], ибо науками о природе было доказано, что наблюдаемый предмет достигает зрения посредством прозрачного воздуха. Последний является посредником, воспринимающим его [,т.е. наблюдаемого предмета,] образ, и передающим его зрению. Если бы центр зрения располагался на поверхности внешней поверхности глаза, то зрительная способность не могла бы воспринимать видимые предметы, ибо видимые предметы достигали бы ее в качестве точки, а в точке невозможно воспринять ни образ, ни величину, ни фигуру. Однако же, зрение воспринимает и образ, и величину, и фигуру. Поэтому ясно, что центр зрения не располагается на поверхности внешней периферии глаза. Более того, из опыта известно, что образ, воспринимаемый зрачком, подобен образу фигуры, [отраженной] в отполированном зеркале. Поэтому, по-видимому, если глаз не находится в состоянии подходящем для восприятия образа, он ничего не увидит. Из этого, вне всякого сомнения, следует, что центр зрения находится внутри глаза, а не на его внешней поверхности.
То, что центр зрения не находится на внешней периферии глаза, доказывает также искусство врачевания: причиной потери зрения может служить наличие жидкость в глазу — вокруг этой жидкости на глазном хрусталике образуется карман. Когда они [,т.е. врачи,] сдвигают этот карман всторону, и он перестает закрывать хрусталик, зрение, как утверждает искусство врачевания, возвращается. Итак, хотя образы и отпечатываются на таком [,т.е. пораженном такой болезнью глазу,] он не воспринимает видимые предметы, поскольку существует экран, не позволяющий образу достичь того места, где располагается зрение. Из этого следует, что центр зрения находится внутри периферии хрусталика [במה שבפנים המקיף הלחות הכפורית]. Если бы [центр зрения] находился на внешней периферии, то по этой причине [,т.е. из-за наличия в глазу жидкости,] нельзя было бы утратить зрение, ибо, как мы показали выше, это место [,т.е. место, где располагается глазной хрусталик,] в соответствие с данным предположением, не участвует в восприятии наблюдаемого. Итак, представляется, что зрение находится в хрусталике, и в его центре расположен центр зрения. Таким образом, та жидкость передает полученный ею с внутренней поверхности хрусталика образ наблюдаемого [предмета] внутрь головы [,т.е. мозга,] где, как утверждают естественные науки, располагается общее чувство.
Возможно привести математическое доказательство [нашего предположения] о местоположении центра зрения. Для этого мы прибегнем к помощи созданного нами инструмента для наблюдений в любое время, [устройство и действие] которого мы, с Божьей помощью, разъясним в дальнейшем. Здесь же мы расскажем о нем лишь необходимое для прояснения рассматриваемого нами вопроса [о местоположении центра зрения]. Итак, он состоит из посоха с прямыми поверхностями. Центр одного из его концов мы располагаем у глаза. Имеются также пластины с плоскими поверхностями, посредине которых находятся отверстия. Мы вставляем посох в эти отверстия таким образом, что они возвышаются над посохом немного меньше, чем [угол] зрения [Буквально: «чем высота зрения над ней».] Поместим на нем [,т.е. на посохе,] две пластины, одна из которых в два раза превосходит другую, либо находится в любом другом отношении к ней. Будем приближать меньшую пластину к глазу [הראות], пока она не скроет большую — [и будет] ни больше ее, ни меньше ее. Проделав это большой точностью, мы сможем с лёгкостью определить местоположение точки, которая образует угол наблюдения. Ведь эти пластины параллельны [друг другу] и расположены под прямым углом к посоху, а параллельные линии делят стороны треугольника пропорционально. Поскольку же расстояния между этими пластинами известно, а также известно отношение их [величин], можно определить местоположение точки зрения. Ведь отношение линии, которая выходит из нее и достигает меньшей пластины, к линии, которая выходит из нее и достигает большой пластины, равно отношению меньшей пластины к большой пластине.
Когда мы изменяем, разделяем и обращаем [отношение большой пластины к малой], оказывается, что отношение малой пластины к линии идущей к ней из центра зрения равно отношению величины, на которую большая пластина превосходит малую, к величине, на которую ее [,т.е. большой пластины,] расстояние от центра зрения превосходит расстояние малой пластины от центра зрения. Поскольку второе отношение известно из опыта, с его помощью можно определить отношение малой пластины к ее расстоянию от центра зрения. А поскольку известна величина малой пластины, известно и ее расстояние от центра зрения.
Приведем пример. Пусть по длине всей поверхности какой-либо из сторон посоха будет проведена линия АБ, вдоль которой движется взгляд. Параллельные пластины пересекающие линию АБ — это линии ГД и ЕЗ, где линия ГД превосходит линию ЕЗ, и линия ЕЗ ближе к глазу. Они расположены так, как было описано выше: [малая пластина] скрывает большую пластину. [При этом малая пластина, т.е. линия ЕЗ] пересекает линию АБ в точке Т, а линия ГД пересекает линию АБ в точке Х. Поскольку, как мы видим, две линии ГД и ЕЗ противолежат прямыми лучами одному и тому же углу, то, если продлить линии ГЕ и ДЗ, они, очевидно, пересекутся в вершине угла зрения, то есть встретятся, [в данном] примере, в точке Л. Соединим точки А и Л прямой линией. Очевидно, линия БАЛ — это одна прямая линия, ибо, в соответствие с условием, центр глаза находится на прямой линии БА. Более того, линия ГХ равна линии ХД, а линия ЕТ равна линии ТЗ, линия ХТ является общей, угол ДХТ равен углу ГХТ, и угол ХТЗ равен углу ХТЕ. Из этого следует, что если мы наложим фигуру ДТ на фигуру ГТ, они в точности совпадут, ибо точка Д совпадет с точкой Г, а точка З с точкой Е. Поэтому угол ХДЗ равен углу ХГЕ. Поскольку два угла у основания [תושבת] треугольника ЛГД равны, треугольник ЛГД, очевидно равнобедренный [שוה שוקיים]. Таким образом, линия, соединяющая точку Л и середину основания [треугольника], то есть точку Х, пересекает линию ГД под прямым углом. Также линия ХА пересекает линию ГД под прямым углом, а из этого следует, что линия ХА лежит на той же прямой, что и линия ХЛ. И поскольку треугольник ГДЛ содержит линию ЕЗ, параллельную основанию ГД, линия ЕЛ относится к линии ГЛ так же, как линия ЕЗ к линии ГД. Из этого следует, что линия ЕТ относится к линии ГХ так же, как линия ЛТ к линии ЛХ. Изменяя и разделяя, мы приходим к выводу, что линия ЕТ относится к линии ЛТ так же, как разница линии ГХ и линии ХТ к разнице линии ЛХ и линии ЛТ (эта разница является линией ХТ). Однако, разница линии ГХ и линии ЕТ известна, так же как известны и величины линий ХТ и ЕТ. Остается [неизвестной] величина линии ЛД, которую можно найти, поскольку известно ее отношение к линии ЕТ, которая известна. Используя [наш инструмент] при проведении разнообразных исследований, мы обнаружили, что в данном примере точка Л находится в центре глаза, то есть в центре глазного хрусталика. Тем не менее, мы все же должны были провести это исследование [,т.е. привести это доказательство], поскольку без него мы не сможем безошибочно установить величину угла зрения, когда мы наблюдаем с помощью этого инструмента две звезды или планеты и хотим определить протяжённость дуги между ними. Ведь если мы решим, что эта точка располагается где-то между точками Л и Т, то вычисленное нами расстояние будет превосходить действительное, ибо угол, то есть угол зрения, в этом случае будет большим. Обратная ситуация возникнет, если мы расположим эту точку за пределами линии ТЛ, ибо в таком случае вычисленное нами расстояние будет меньшим, чем оно есть на самом деле, поскольку тогда угол окажется меньшим.

Глава седьмая

Мы привели необходимые разъяснения в отношении инструмента, созданного нами для проведения в любое время наиболее точных наблюдении. [В этой главе], мы, сначала, опишем, способ создания этого инструмента, а затем расскажем о том, как им пользоваться.
Итак, этот инструмент изготавливается следующим образом. Возьмём прямой посох длиной около шести пядей[10] и выровняем [одну] его поверхность. Ширина этой поверхности ее будет около перста[11] по всей длине посоха. На одном из концов посоха установим малую пластину, из которой на расстоянии чуть более перста друг от друга выступают два колышка, один из которых мы помещаем у ближнего к носу угла того глаза, которым мы наблюдаем, а второй — у ближнего к носу угла другого глаза. [Мы располагаем их] так, так чтоб они не препятствовали зрению. Когда инструмент расположен таким образом, центр зрения у большинства людей будет удалён на 1/12 пяди от той поверхности, которая касается поверхности, находящейся рядом с глазом. Это как нам удалось установить благодаря многотрудным [исследованиям]. Разделим посох на сегменты [מעלות], так чтоб в одной пяди содержалось 8 сегментов и обозначим их по длине[12] прямой [стороны] посоха от одного конца до другого. Сегменты посоха начинаются от центра зрения, удаленного от посоха примерно на 1/20 пяди. Поэтому первый, ближайший к глазу, сегмент будет равен остальным сегмент, если прибавить к нему 1/20 пяди. Обозначим их там указанным образом. Далее, разделим каждый сегмент на 6 равны частей [חלקים] с одной стороны, а и на 12 равных частей с другой. Затем соединим диагональю начало линии сегмента и конец первой из тех частей, что делят сегмент на 12 равных отрезков. Проведем еще одну диагональ от начало упомянутой нами части к концу первой из тех частей, что делят сегмент на 6 равных отрезков, а от конца этой части — к концу третьей из тех частей, что делят сегмент на 12, и от конца этой третьей части — к концу второй части, из тех что делят сегмент на 6, и от конца этой второй части — к концу пятой из тех частей, что делят сегмент на 12, и так далее для всех сегментов посоха, пока не будет завершено деление всех сегментов посоха. Таким образом, каждая из эти диагональных линий ограничивает 1/12 сегмента, равных 5 минутам. Ты сможешь также приблизительно рассчитать его дробную часть, ибо если это пятая часть — она равна 1 минуте, четвертая — 1 минуте и 15 секундам, третья — 1 минуте и 40 секундам, вторая — 2 минутам и 30 секундам. Таким способом ты сможешь определить с большой точностью минуты и секунды круга. Если мы поделим этот посох, разделённый в длину на сегменты, на 5 частей по ширине, до все диагонали окажутся разделены на 5 равных частей, и каждая часть из них охватит одну минуту градуса [? сегмента — מעלה] посоха.
Далее, сделаем несколько пластин. Посредине каждой из них расположено круглое отверстие, сквозь которое может [лишь] с усилием пройти посох, и мы [при этом] будем в состоянии вращать вокруг него пластины в любом желаемом направлении. Одна пластина должна быть равна 24 сегментам посоха, а ее верхняя сторона должна возвышаться над посохом на ту же высоту, что центр зрения возвышается над посохом. Указанным способом [должны быть сделаны] пластины [размером] 16, 8, 4 и 2 сегмента, чья ширина будет 1 сегмент с одной стороны, и половина (или четверть сегмента, или даже меньше) — с другой стороны, дабы мы смогли наблюдать с их помощью звезды или планеты близкие по долготе и широте. Все эти пластины должны обладать прямыми и перпендикулярными друг другу поверхности.
Если с помощью этого инструмента мы хотим установить, каково расстояние между двумя звездами или планетами, возьмём ту из упомянутых пластин, которая более всего походит для нахождения этого расстояния, я имею в виду, что если расстоянии превышает 25 градусов, мы возьмём наибольшую пластину. Мы всегда должны стараться поместить пластину как можно ближе к концу посоха. Пропустим посох сквозь пластину таким образом, чтоб он оказался к ней под прямым углом, и поместим колышки, которые расположены у вершины посоха у ближнего к носу углу того глаза, которым мы наблюдаем. Второй глаз закроем, дабы наблюдение не было искажено. Приблизим эти колышки к глазу насколько это возможно. Будем приближать и отдалять пластину по отношению к глазу пока не увидим над вершиной пластины с одной ее стороны — одну звезду, а с другой стороны — другую звезду, таким образом, чтоб обе наблюдаемые звезды касались двух концов этой пластины. Такое наблюдение возможно лишь если хорошо видны концы пластины; поэтому мы расположим позади себя свечу так, чтобы она освещала поверхность пластины, и при этом ее свет не препятствовал наблюдению звезд. Завершив это [наблюдение] запишем, с помощью какой пластины проводилось наблюдение и отметим, в скольких градусах [? מעלות], минутах и частях минут посоха оказалась пластина в момент наблюдения. Мы называем это расстоянием [מרחק]. Например, пусть наблюдение этих звезд проводилось в некий момент времени с использованием пластины в десять сегментов на сорока сегментах [? градусах — מעלות] расстояния. Когда ты из этого наблюдения захочешь узнать, каково расстояние от одной из этих звезд до другой в градусах проходящего через них большого круга, прибавь квадрат расстояния к квадрату половины пластины, и найди квадратный корень этой суммы. Результат будет скорректированным [מתוקן] полудиаметром. Умножив сегменты [מעלות] пластины на 60 градусов [מעלות] и разделив результат на скорректированный радиус, ты получишь «скорректированную хорду» — этим названием мы пользуемся в связи с нашим инструментом. Найди полную дугу в таблице дуг и хорд, она и будет расстоянием между двумя звездами на большом круге, проходящем через них.
Если обе эти звезды расположены на эклиптике [בעצם האזור גלגל המזלות], эта дуга будет расстоянием между ними в эклиптической долготе[13], а если они обе находятся на той же самой эклиптической долготе, то эта дуга будет дугой расстояния между этими двумя звездами по широте. Если же [только] одна из них находится на эклиптике, то упомянутая широта будет широтой другой звезды от эклиптики с соответствующей стороны, то есть если звезда будет к северу от эклиптики[14], то эта широта будет северной, а если к югу — то южной. Если известна широта одной из этих звезд и обе они расположены на той же самой эклиптической долготе, то упомянутая дуга будет [величиной], на которую широта одной звезды превосходит широту другой. Если обе они находятся с одной стороны, то есть, если широта одной звезды известна, а другая звезда располагается с той же самой стороны [от эклиптики], что и первая, тогда [сложи обе широты], и ты получишь искомую широту второй звезды; если же они находятся с различных сторон от эклиптики, то отними большую широту от меньшей, и остаток будет широтой звезды, чья широта, в отличие от большей широты [другой звезды], была неизвестна.
Если у них разная эклиптическая долгота, и одна из них, или обе, обладают некоторой широтой, то, как я покажу тебе, если известна [их] широта, можно узнать и расстоянием между ними в эклиптической долготе. Прежде, чем преступить к доказательству, мы хотим выдвинуть следующее положение: у звезды синус дуги широты перпендикулярен плоскости эклиптики, если этот синус начинается том месте, где находится звезда.
Доказательство. Пусть плоскостью эклиптики будет плоскость круга АБГД, центром которого является точка Е. Очевидно, что плоскость круга широты проходит через полюса этого круга. Дуга ГД будет частью круга широты; ее синус — прямая линия ЗХ — начинается в точке З. Проведем линию ЕХД, которая, очевидно, является единой линией, поскольку линия, идущая из центра к половине хорды, делит дугу пополам. Пусть дуга ДЗТ будет квадрантом; тогда точка Т будет полюсом круга АБГД. [39] Проведем линию ТЕ; очевидно, линия ТЕ перпендикулярна плоскости АБГД, поскольку круг ДЗТ проходит через полюса АБГД. Мы утверждаем, что линия ЗХ параллельна линии ТЕ, поскольку угол ЗХЕ прямой, ибо линия ЕХ выходит из центра круга и делит пополам удвоенную дугу ЗД; угол ТЕХ также прямой, так как линия ТЕ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Из сказанного ясно, что он перпендикулярен любой линий, начинающейся в точке Е на плоскости круга АБГД, выключая линию ЕД. Поскольку линия ЗХ также перпендикулярна линии ЕД, и поскольку линии ЗХ и ЕТ лежат на одной и той же плоскости круга ДЗТ, мы приходим к выводу, что две линии ЗХ и ЕТ параллельны. Поскольку линя ЕТ перпендикулярна плоскости круга АБГД, параллельная ей линия ЗХ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Подобным образом можно показать, что все синусы дуг эклиптической широты перпендикулярны плоскости круга АБГД и параллельны друг другу, так как все они параллельны линии ЕТ.
Приняв во внимание это [положение], мы хотим показать, каким образом возможно определить расстояние между двумя звездами в эклиптической долготе, если известна широта каждой из них. Это можно осуществить следующим образом. Если только одна звезда обладает широтой, отними квадрат синуса дуги широты от квадрата скорректированной хорды, а из полученной разницы извлеки квадратный корень. Результат будет «второй хордой» — такое название мы используем в настоящей главе. Таким образом, перед тобой треугольник, все три стороны которого известны: одна сторона — это радиус, вторая — это вторая хорда , а основание — это остаток вычитания синуса дуги широты звезды из 60 градусов. Таким образом, можно найти перпендикуляр, идущий от вершины треугольника к основанию, — он будет синусом дуги расстояния. Найди соответствующую ему дугу, и ты найдешь то, что искал.
Приведем пример. Пусть плоскость круга эклиптики проходит через центр Е круга АБГД. Точка А — это местоположение звезды, которая не обладает широтой, а точка Б — это некая эклиптическая долгота другой звезды. Вторая звезда, однако, обладает некоей широтой, каковой явятся дуга БЗ, а звезда находится в точке З. Проведем линии ЕА и ЕБ, а также перпендикуляр ЗХ из точки З к линии БЕ. Линия ЗХ является синусом дуги БЗ, а линия ХБ — ее версинусом, который также известен. Таким образом, оказывается известна величина линии ХЕ, ибо она является комплиментарной частью полудиаметра. Проведем линию АЗ, которая будет скорректированной хордой расстояния между этими звездами, а также начертим линию АХ. Из сказанного ранее ясно, что угол АХЗ прямой, поскольку линия ЗХ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Поэтому линия АЗ является квадратным корнем суммы квадратов АХ и ЗХ. Когда мы отнимем от квадрата известной нам лини АЗ квадрат также известной нам линии ЗХ, остаток будет равен квадрату линии АХ. Таким образом, мы определили [величину] линии АХ, служащей второй хордой. Поскольку все стороны треугольника АХЕ известны, можно на основании уже сказанного определить [величину] выходящего из точки Е перпендикуляра АТ к линии ЕХ. Итак, величина линии АТ известна, и эта линия есть синус дуги расстояния между двумя звездами; с его помощью ты найдешь дугу расстояния, которую ты искал. Это можно показать еще одним способом: углы треугольника АХЕ известны, поскольку все стороны этого треугольника известны. Благодаря этому можно найти угол АЕХ, охватывающий [מגבלת] дугу расстояния между этими двумя звездами.
[Рассмотрим случай,] когда обе звезды обладают широтой. Если обе они находятся по разные стороны от эклиптики, то сложи синусы их дуг широты и сохрани эту сумму; если же их широта с одной и той же стороны от эклиптики, найди разницу между двумя синусами и сохрани ее. Вычти квадрат суммы или разницы из квадрата скорректированной хорды, и найди квадратный корень остатка, который и будет второй хордой. Таким образом, перед тобой будет треугольник с тремя известными сторонами: первая сторона — это вторая хорда, в две оставшиеся стороны — это остатки полудуг широты звезд, после того как мы их вычли из 60. Таким образом, будет найден угол, охватывающий [מגבלת] дугу расстояния между двумя этими звездами по долготе эклиптики.
Ты можешь пойти другим путем, определив величину перпендикуляра от вершины треугольника к его основанию. Пусть основанием треугольника будет одна из линий, идущих из центра круга эклиптики к месту, где оказывается синус дуги широты одной из звезд. Найди величину этого перпендикуляра, умножь ее на 60 и раздели на [величину] линии, соединяющую центр круга эклиптики и место, куда падает синус дуги широты второй звезды, который не был определен в качестве основания треугольника; результатом будет синус дуги расстояния между двумя звездами, с помощью которого ты найдешь [соответствующую ему] дугу расстояния. Если обе широты находятся с одной стороны [от эклиптики], а также равны, то скорректированная хорда будет второй хордой. Продолжай описанным ранее образом, чтобы найти синус дуги расстояния между двумя звездами. Если ты умножишь вторую хорду на шестьдесят и разделишь результат на остаток, полученный при [вычитании] версинуса из 60, ты получишь хорду дуги расстояния; найди ее полную дугу, и ты получишь то, что искал.
Приведем примеры для каждого из этих способов. Пусть плоскостью круга эклиптики будет круг АБ с центром в точке Г; дуга расстояния по долготе между этими двумя звездам — это дуга АБ. Дугой широты одной звезды будет дуга АД, а дугой широты другой звезды — дуга БЕ; дуга АД расположена к северу [от эклиптики], а дуга БЕ — югу. Линия ДЕ — это скорректированная хорда.

 

Проведем линии АГ и ГБ; линия ДЗ будет синусом дуги АД, а линия ЕХ — синусом дуги БЕ. Эти линии известны, поскольку известны дуги широты. Из сказанного ясно, что известны и версинусы этих дуг — это линии АЗ и БХ. Остаются линии ГЗ и ГХ, которые также известны, ибо они дополняют до 60 градусов каждый из известных версинусов. Проведем линию ЖЕ, являющуюся второй хордой, и продлим линию ДЗ к югу на величину линии ХЕ — это будет линия ЗТ. Линия ДЗТ параллельна линии ХЕ, и поэтому линия ЗТ параллельна и равна линии ХЕ. Проведем линию ТЕ. Очевидно, что обе линии — ЗХ и ТЕ — параллельны и равны, поскольку они расположены между двумя параллельными и равными линиями ТЗ и ХЕ. Угол ДЗХ прямой, так как линия ДЗ перпендикулярна плоскости круга АБГД. По этой же причине угол ДТЕ прямой, ибо линия ТЕ параллельна линии ЗХ. Из сказанного ясно, что если вычесть квадрат линии ДТ из квадрата линии ДЕ, являющейся скорректированной хордой, то квадратный корень полученной разницы будет равен линии ТЕ, и, таким образом, будет найдена величина линии ТЕ. Благодаря этому можно будет установить величину линии ЗХ, которая является второй хордой, поскольку она равна линии ТЕ.

Если широты располагаются с одной и той же стороны эклиптики и не равны друг другу, то можно воспользоваться приведённым выше способом для нахождения второй хорды. Для этой цели мы рассмотрим ту же самую фигуру, с той разницей, что две линии ЗД и ХЕ мы расположим с одной стороны, проведем линю ЗХ, которая является второй хордой, и примем, что линия ЗД больше линии ХЕ. Отметим на ней линю ЗТ, равную линии ХЕ, и проведем линию ТЕ. Поскольку две линии ЗТ и ХЕ параллельны и равны, две линии ЗХ и ТЕ также параллельны и равны. Приведённым выше способом можно показать, что угол ДТЕ прямой, а из этого следует, что если вычесть из квадрата скорректированной хорды — линии ДЕ — квадрат линии ТД, то квадратный корень остатка будет равен линии ТЕ, которая в свою очередь равна линии ТХ, служащей второй хордой. Из сказанного следует, что если [обе звезды] обладают равной долготой с одной и той же стороны [от эклиптики], то скорректированная хорда равна второй хорде. Поскольку была найдена вторая хорда — линия ЗХ, и нам известны линии ХГ и ЗГ, можно найти все углы треугольника ХГЗ и, в частности, угол ХГБ, ограничивающий дугу расстояния между двумя этими звездами.

Для этого существует еще один, следующий, способ. Поскольку все стороны треугольника ГДЗ известны, можно найти величину перпендикуляра ХЛ, идущего из точки Х к линии АГ. Проведем [перпендикуляр] БМ из точки Б к линии АГ, параллельный линии ХЛ. Очевидно, линия БМ параллельна дуге расстояния между этими двумя звездами. Также ясно, что отношение линии ГХ к ХЛ равно отношению линии ГБ к линии БМ, поскольку треугольники ХГЛ и БГМ подобны. Из сказанного следует, что произведение [שטח] второго и третьего равно произведению первого и четвертого. Значит, если мы умножим линию ХЛ на линию БГ, и разделим результат на линию ХГ, частное будет равно линии БМ, которая является синусом дуги расстояния между двумя этими звездами.

Если долгота [этих звезд] равна, и она с одной и той же стороны [от эклиптики], то из этого, очевидно, следует, что скорректированная хорда равна второй хорде, и, значит, можно найти линию ХЗ, являющуюся второй хордой. Проведем линию АБ. Поскольку линия АЗ равна линии ХБ, а линия АГ равна линии ГБ, линии, АГ и ГБ разделены ЗХ в одинаковой пропорции. Таким образом, линии АБ и ЗХ параллельны, а треугольники ЗГХ и АГБ подобны, и поэтому отношение линии ЗГ к линии ЗХ будет равно отношению линии АГ к линии АБ. Из предшествующего способа [доказательства] ясно, что если разделить произведение линии ЗХ и линии АГ на линию ЗГ, то результат будет равен линии АБ, то есть полной дуге расстояния долготы между этими звездами.
Ты можешь с легкостью — с приемлемым в наблюдениях отклонением [בקרוב בלתי מזיק במבטים] — определить [величину] полной дуги расстояния, когда одна из звезд, или обе, обладают широтой, и их широты, будь то с одной стороны [от эклиптики] или с разных, неравны. Найди вторую хорду описанным выше способом, а затем вычти из ее квадрата квадрат разницы большего версинуса и меньшего. Взяв квадратный корень полученного результата, ты получишь скорректированную вторую хорду для случая, когда широты [этих звезд] равны. Прибавь половину разницы большего версинуса и меньшего к остатку, полученному при вычитании большего версинуса из 60 градусов, если обе они обладают широтой, и полученный результат [הנשאר] будет остатком скорректированного версинуса. Но если широтой обладает только одна [звезда], прибавь половину версинуса [дуги той звезды, ] которая обладает широтой, к остатку, полученному при вычитании версинуса из 60 градусов, и результат будет остатком скорректированного версинуса. Умножь скорректированную вторую хорду на 60 градусов, а затем раздели на остаток скорректированного версинуса; в результате деления ты получишь приблизительное [значение] полной хорды дуги расстояния, а через него ты найдешь приблизительное [значение] дуги расстояния.
Приведем доказательство сказанному. Пусть дугой расстояния в этой фигуре будет дуга АБ с центром Г; проведем линии АГ и ГБ. Приведённым выше способом найдем вторую хорду и, таким образом, придём к истинной [величине хорды] с приемлемым для наблюдений отклонением. Это станет ясно из следующего. Проведем из двух концов второй хорды в треугольнике АГБ линии параллельные хорде дуги расстояния, то есть линии АБ, а также проведем перпендикуляр от одной из этих линий к другой. Когда мы отнимем от квадрата второй хорды квадрат перпендикуляра и извлечем квадратный корень из полученной разницы, результат будет равен параллельной линии, проходящей через точку, отмечающую половину той части, на которую больший версинус превосходит меньший. Доказательство. Пусть в этой фигуре второй хордой будет линия ЗХ. Линия АЗ короче линии БХ. Проведем из двух концов линии ЗХ в треугольнике АГБ линии ЗД и ХЕ параллельные линии АБ; линия ЗХ будет разницей линий БХ и АЗ. Разделим линию ЗЕ пополам в точке Т, и проведем из точки Т в треугольнике АГБ линию ТЛ, параллельную линии АБ. Из точки З проведем перпендикуляр ЗМ к линии ХЕ, продолженной по мере необходимости до тех пор, пока не образуется прямая линия ХЕМ. Проведем линию ТМ, которая, очевидно, равна линии ТЕ, поскольку треугольник ЗМЕ прямоугольный, а линия ЗЕ — это диаметр его окружности [,т.е. гипотенуза]. [Линия ЗЕ] разделена пополам в точке Т, и поэтому точка Е служит центром окружности, описанной вокруг треугольника ЗМЕ. Из сказанного следует, что линия ТМ равна линии ТЕ, и, значит, угол ТМЕ равен углу ТЕМ. Поскольку треугольник ЕГХ равнобедренный, углы ТЕХ и ЕХЛ равны. А так как два угла — ТЕХ и ТЕМ равны двум прямым углам, углы ТМЕ и ЕХЛ также равны двум прямым углам. Поскольку линии МТ и ХЛ перпендикулярны линии МХ, и образованные [пересечением этих линий] внутренние углы равны двум прямым углам, линии ТМ и ХЛ параллельны. А так как расположенные между ними линии МХ и ТЛ также параллельные, они также и равны. Очевидным образом, когда мы вычтем из квадрата линии ЗХ квадрат линии ЗМ, квадратный корень остатка будет равен линии МХ. Из этого [следует], что квадратный корень остатка [также] равен линии ТЛ, которая равна линии МХ, как мы уже разъяснили. Из сказанного ясно, что если мы, как уже было сказано, отнимем от квадрата линии ЗХ квадрат линии ЗМ, то квадратный корень остатка будет равен линии ТЛ. Следует отметить, что мы использовали линию ЗЕ вместо линии ЗМ, а это приводит к некоторому отклонению. Однако, такое отклонение приемлемо в наблюдениях при условии, что этот инструмент будет применяться в соответствие с правилами его использования, которые мы опишем в дальнейшем, а также при условии, что звезды удалены от эклиптики менее, чем на 7 градусов, и что расстояние между ними [,предпочтительно,] более 30 градусов, но не менее 10 градусов. Можно показать, что даже если широта одной из звезд равна 7 градусам, а у другой вообще нет широты, это отклонение не повредит наблюдению, так как версинус 7 градусов меньше 27 минут. Предположим, что полная скорректированная хорда равна лишь 10 градусам, то есть линии АБ в данном примере. Прочие же части фигуры останутся без изменения. Проведем из точки Г перпендикуляр ГН к линии АБ. Поскольку версинус половины дуги АБ меньше 14 минут, линия ГН превышает 57 градусов и 46 минут, а линия АГ равна 60 минутам. Поскольку линии ХМ и АБ параллельны, проходящий между ними перпендикуляр создает равные прямые внутренние углы [זויות מומרות]. Поэтому угол ЗЕМ равен углу ГАН, а прямой угол ЗМЕ равен прямому углу ГНА; оставшийся в треугольнике ЗЕМ угол МЗЕ равен оставшемуся в треугольнике ГАН углу АГН. Из сказанного ясно, что треугольники ЗЕМ и ГАН подобны, и поэтому отношение линии ЗМ к линии ЗЕ равно отношению линии ГН к линии ГА. Таким образом, линия ЗЕ превышает линию ЗМ не более, чем на 7 секунд, и это прибавит к квадрату линии ЗМ не более 6 секунд. Внимательно изучив это, ты найдешь, что [при определении величины] линии МХ меньшей может привести к ошибке, чем 1 секунда. Дуга расстояния равная 60 градусам также не оказывает влияния на возникающее здесь отклонение. Ведь, как выяснилось в предшествующем доказательстве, линия ЗЕ не превышает линию ЗМ более, чем на 1 одну минуту, а это увеличивает квадрат линии ЗМ лишь где-то на 53 секунды, что, как ты сможешь увидеть, приводит к ошибке в [определении величины] линии МХ менее, чем в 1 секунду, а это приемлемо в наблюдениях. Таким образом, стоит использовать этот последний, более легкий, способ. Здесь мы завершаем рассмотрение данного использования этого инструмента.

Глава восьмая

Ты должен знать, что с помощью этого инструмента мы сможем с величайшей точностью определить высоту [גובה] солнца и луны, или любой другой звезды и планеты, когда они находятся на меридиане [קו חצי היום]. Это, как тебе, с Божьей помощью, станет ясно в дальнейшем, принесет большую пользу нашему исследованию. [Для определения высоты планет и звезд] нам потребуется поставить посох на опоры — две посредине и две в верхней его части — той, которую мы приближаем к глазу — дабы установить его на земле. В приближаемом к глазу верхнем [конце] посоха поместим ползунок [דף] с небольшим отверстием у поверхности посоха, и начиная от отверстия, а не от центра зрения, отметим градусы [מעלות]. Этот посох следует поместить параллельно горизонту на меридиане [ביושר קו חצי היום]; в дальнейшем мы покажем, как найти меридиан. У нас должно быть много пластин [לוחות] с отверстиями у одного края — когда мы проденем посох сквозь них, они должны находиться под прямым углом по отношению к посоху с наибольшей возможной точностью. Длина одной пластины будет 60 сегментов [מעלות], или более, длина второй пластины — 40 сегментов, длина третьей пластины — 30 сегментов, длина четвертой пластины — 20 сегментов, длина пятой пластины — 15 сегментов, и длина шестой пластины — 10 сегментов. Посох должен быть параллелен плоскости горизонта, когда мы продеваем его сквозь пластину, и шнур отвеса [אנך] должен находиться посередине вершины пластины, так чтоб сам отвес падал на середину пластины. Затем будем приближать или удалять пластину от глаза пока не увидим звезду через отверстие, как будто она касается вершины пластины. Мы должны всегда стремиться к тому, чтоб пластина образовала с наибольшей точностью прямой угол с посохом. Отметим в скольких сегментах [מעלות] и частях [минутах] посоха оказалась [пластина]. Это будет расстоянием [מרחק]. Определим высоту вершины этой пластины по отношению к посоху — например, она может быть больше или меньше 50 градусов, в зависимости от размеров пластины, с помощью которой проводится наблюдение. Эту величину в настоящей главе мы будем называть высотой.
Найдя высоту и расстояние, сложим квадрат высоты с квадратом расстояния и извлечем квадратный корень из суммы; результат будет равен скорректированному полудиаметру. Разделим на него градусы высоты умноженные на 60 градусов, и получим синус дуги высоты звезды над землей, а через него найдем искомую дугу высоты над землей. В этом наблюдении используется наиболее подходящая для него пластина в соответствие с высотой звезды над землей. Вообще же, чем больше расстояние [пластины от глаза] при наблюдении, тем более точным [будет результат]. Таким же способом с помощью этого инструмента возможно узнать широту звезды по отношению к экватору, найдя ее высоту на меридиане. Тем же способом благодаря этому инструменту мы сможем определить текущий час дня или ночи, найдя высоту солнца днем или высоту какой-либо звезды ночью.

 

Глава девятая

Мы можем прибегнуть к этому инструменту для нахождения величины диаметра звезды по отношению к кругу ее вращения. Это достижимо тремя способами.
Первый способ. Рассмотрим расстояние [наблюдаемой] звезды от какой-либо другой звезды, как чтоб оно не содержало искомого диаметра этой звезды, [то есть] возьмём расстояние между [другой] звездой и ближайшей к ней [,т.е. к наблюдаемой звезде,] периферией. Затем вернемся к рассмотрению расстояния между этой звездой и другой звездой, включив в него искомый диаметр звезды. Для этого возьмём расстояние между [другой] звездой и противоположной периферией этой звезды. Разница этого расстояния и первого расстояния будет величиной диаметра звезды по отношения к кругу, по которому она движется.
Второй способ. В пластине, через которою продет посох, будет прямоугольное отверстие, величина которого по отношению к сегментам [מעלות] посоха известна. Высота отверстия над поверхностью посоха должна соответствовать высоте центра зрения над этой поверхностью. Будем приближать ее [,т.е. пластину,] к глазу пока диаметр звезды не заполнит это отверстие по всей его ширине. Поскольку ты знаешь расстояние пластины в момент наблюдения, а также ширину отверстия, можно найти величину диаметра звезды по отношению к кругу ее движения. Ведь ширина отверстия соответствует величине пластины, используемой в этом наблюдении.
Третий способ относится к светилам, таким как солнце и луна. Мы пользуемся им также для Венеры и Юпитера. В последнем случае его применение несколько затруднено слабостью их света. Однако [мы проводим это наблюдение] в самое темное время, когда отсутствует свет других звезд, то есть в ночной тьме когда их свет проходит через окно не смешиваясь со светом какого-либо другого светила. Для этого возьмем посох длиной около 16 пядей или более и установим на одной из его вершин пластину под прямым углом к посоху, так чтоб плоскость пластины пересекала длину посоха под прямым углом. В пластине должно быть круглое отверстие известного диаметра, [измеряемого] в сегментах [מעלות] посоха, например — 1 или 2 сегмента. На другом конце посоха будет еще одна пластина, параллельная первой, на которой виден луч [,т.е. видимый образ,] светила, проходящий сквозь отверстие первой пластины. Если известна величина этого луча [,т.е. видимого образа,] то известно и отношение диаметра светила к кругу, центр которого находится на поверхности земли, [то есть в том месте,] откуда производится наблюдение; его полудиаметр равен расстоянию от этой поверхности. Когда мы определим, насколько ширина луча [,т.е. видимого образа,] превышает ширину отверстия, мы сможем найти дугу, которая ограничивает эту целую хорду, если длину посоха счесть равной 60 градусам. Эта [дуга] будет диаметром светила по отношению к упомянутому кругу.
Приведем пример. Пусть длина посоха между двумя пластинами будет равна 100 сегментам, ширина отверстия — 2 сегментам, и ширина луча [,т.е. видимого образа,] — 3 сегментам. В таком случае ширина луча превосходит [ширину отверстия] на 1 сегмент при длине посоха 100 сегментов; однако, если длина посоха 60 сегментов, эта разница в величине окажется равной 36 минутам. Соответствующая им полная дуга равна 34 минутам и 22 секундам, и поэтому диаметр светила при указанной величине [посоха] равен 34 минутам и 22 секундам. Докажем это. Пусть линия АБ будет диаметром светила, линия ГД — диаметром параллельного ему отверстия, а линия ЕЗ — диаметром луча [,т.е. видимого образа,] параллельного второй пластине. Проведем прямые линии АДЗ и БГЕ, пересекающиеся в точек Х. Угол АХБ — это угловой диаметра звезды по отношению к кругу с центром в точке Х на поверхности земли; угол ЕХЗ равен этому углу. Отметим на линии ЕЗ линию ЕТ, равную линии ГД, и проведем линию ТД; линии ЕТ и ГД параллельны и равны. Поэтому линия ТД параллельна линии ЕХ, и, значит, угол ТДЗ равен углу ЕХЗ, и равен углу АХБ, который является угловым диаметром звезды по отношению к упомянутому кругу.
Любому человеку, знакомому с этой наукой, понятно, что в случае Солнца, Юпитера и Венеры нет большого различия между точкой Х и центром земли. Однако, в случае Луны это различие, очевидно, существует, по причине ее близости к земле. Из этого с необходимостью следует, что мы сможем установить отношение его диаметра к кругу, центр которого совпадает с центром земли, определив отношение диаметра луны к упомянутому кругу. Ты должен знать — чем длиннее посох, с тем большей точностью мы сможем определить величину диаметра светила. Это будет нам в помощь в этой науке, [когда мы будем использовать] с этот созданный нами для наблюдений инструмент, который, как ты сможешь убедиться, весьма поразителен. Этот инструмент мы назвали «Раскрывающий глубины», ибо благодаря ему мы сможем, с Божьей помощью, постичь разнообразные глубины этой науки [מלאכה].
И дабы читатель осознал достоинства этого инструмента и полюбил его, мы посвятили ему два стихотворения, свидетельствующем о пользе этого инструмента для этой науки. Вот они.
[А]

Твердыня, наделил Он человеку богатством — даровал ему ум.
Благодаря уму он созерцает благость Его, и входит в Его храм.
Наделён он [человек] всеми орудиями для постижения мудрости,
всех сокрытых тайн создания и своего Творца.
Он открывает ему тайны Свои во все звездах небесных,
и дает ему постичь путь Свой, Свою даль и величие Свое.
Как устроено небо и каковы пути его? Человек, спроси свой посох, и ты получишь ответ!
[Б] «Почему вы зовете меня ранящим!?[15] — воскликнул в горечи посох.
Мое имя — благость — свидетели тому звери земные и птицы небесные.
Произошла отрасль из дома Давида[16], до всех концов [земли] благоухание его.
Расскажу я немного о своей славе, перед вами ею похвалюсь.
Я наставляю в науке ученика, забывшего о своем учении.
Во мне найдет опору утративший силы, я во тьме источаю свет.
С моей помощью идущий сквозь воды и топь найдет свой путь.
Глазами я стану слепому, хромому — ногами.
Я руки тем кто утратил силу, я отверзаю уста немому.
Меня поднимет воин против многих и сильны врагов.
И даже если отсечешь ты от меня часть, из ствола своего проращу я новую ветвь вместо старой.
Столь велики дела мои, что люди пришли в заблуждение: стали мне поклоняться и полагаться на меня.
Не надо верить в меня, ибо я не Бог, ведь лишь Прощающий отпускает грех.
Я был там, где несли святой ковчег [завета], и приобщился я к его уделу.[17]
Когда возносят жертвы тамид — я там всегда.
Мной были совершены чудеса пред Паро, заставившие гордого поникнуть.
И если бы не я, Лаван отослал бы Яакова с пустыми руками.[18]
Для человека, взирающего через меня ввысь, я стану дверью в небо:
он постигнет сферы и пути солнца и луны,
ибо он измерит измеримое, и моей десницей промерит небеса.

Тебе следует знать, что этот инструмент изначально был создан нами, дабы исследовать, существует ли эксцентрическая сфера: благодаря ему нам представилась возможность найти истинную видимую величину диаметра луны во всех четыре его направлениях [מרחקיו]. К этому [исследованию] привел нас спор ученых, изучающих природу, о модели Птолемея. Когда мы с помощью этого инструмента выяснили, что в данном случае действительное положение дел не соответствует теории Птолемея, у нас не осталось иного выбора, как исследовать [возможность создания] такой модели видимых движений небесных тел, в которой различие расстояний соответствует наблюдаемому. Вообще же, благодаря этому инструменту мы, наставляемые Господом, благословен Он, сможем обрести истину в этой науке. В этом ты сам убедишься в дальнейшем. Из сказанного ранее ясно, что если нам известна долгота одной звезды и широта другой звезды, видимой [одновременно] с первой, этот инструмент позволит нам определить долготу видимой с ней звезды [,т.е. долготу второй звезды]. Также если мы знаем долготу некоей звезды, и с помощью этого инструмента найдем ее высоту на середине небес [,т.е. меридиане,] мы сможем определить величину склонения звезды от эклиптики, когда мы найдем градус высоты, в котором она находится в середине небес. В дальнейшем мы, с Божьей помощью, покажем как определить это для любого горизонта, ибо мы не знаем истинную долготу и широту ни одной из звезд. Мы поняли это благодаря многочисленным наблюдениям, в которых мы находили долготу и широту звезд в соответствие с таблицами. Из этих наблюдений, вне всякого сомнения, следует, что их долгота и широта не соответствует тем, что приведены в таблицах. Это еще более затрудняет нашу задачу, и мы должны сначала найти [способ] определения долготы и широты неподвижных звезд. А затем уже, используя долготу и широту неподвижных звезд, мы с помощью этого инструмента, возможно, окажемся в состоянии определять долготу и широту планет.

Глава десятая

Как уже было сказано, для того, чтобы мы смогли использовать неподвижные звезды для определения местоположения видимых вместе с ними планет, мы должны прежде исследовать координаты долготы и широты неподвижных звезд во время наших наблюдений. В дальнейшем мы опишем процедуру [для определения местоположения планет по неподвижным звездам]. Прежде всего, рассмотрим местоположение солнца, так как мы в состоянии с точностью определить его истинное местоположение в любое время. Как известно, наблюдать какую-либо звезду или планету — за исключением луны — вместе с солнцем чрезвычайно трудно. Поэтому мы воспользуемся этим инструментом для определения долготы луны наблюдая с помощью этого инструмента луну и солнце вместе тем способом, который мы опишем в дальнейшем. Когда мы производим такое наблюдение, например, [наблюдаем луну вместе с солнцем] незадолго до заката, а затем наблюдаем луну в начале ночи, или чуть позже, вместе с какой-либо неподвижной звездой, мы можем определить расстояние между ними в эклиптической долготе. На основании среднего времени между двумя этими наблюдениями мы сможем найти истинное движение луны в это время, учтя ее местоположение в движении аномалии и высоту в соответствие с моделью Птолемея. За такое короткое время, как мы установили благодаря продолжительным исследованиям, не возникает никакого ощутимого отклонения. Таким образом, местоположение солнце укажет нам на местоположение этой неподвижной звезды.
Теперь мы опишем сделанную нами пластину. У этой пластины, так же как и у описанных ранее пластин, прямые поверхности и отверстие в середине. На некотором расстоянии от отверстия мы установили по ширине этой пластины другую пластину под прямым углом к первой. Длина [второй] пластины равна остатку длины первой пластины на более длинной ее стороне. Затем мы установили эти две пластины на третьей соединив их стороны так, чтоб образовался равнобедренный треугольник. Вслед за этим мы проделали в третьей пластине отверстие, чтобы посох, пройдя через два отверстия [,проделанных в первой и в третьей пластинах,] оказался под прямым углом к первой пластине. Затем начертим прямоугольный треугольник по толщине образующих его пластин, и выделим на сторонах этого треугольника с двух сторон от прямого угла линию, которая будет относиться к всей этой стороне треугольника так же, как синус дуги 15 градусов к синусу дуги 75 градусов. На двух сторонах прямого угла обозначим две точки, которые разделят эти стороны в упомянутой пропорции. Таким образом, когда мы проведем линии из этих точек к вершинам углов прямоугольного треугольника, который мы начертили на этих пластинах, мы, очевидно, получим два прямоугольных треугольника, острые углы которых будут равны 15 и 75 градусам. Приведем пример. Пусть на этих пластинах будет начерчен треугольник ДЕЗ, угол которого в точке Е — прямой. Выделим на линии ДЕ линию ЕТ, которая относится к линии ЕЗ так же, как синус дуги 15 градусов относится к синусу дуги 75 градусов; поэтому угол ЕТЗ будет равен 75 градусам, а угол ЕЗТ — 15 градусам. На линии ЕЗ выделим линию ЕЛ, равную линии ЕТ. Подобным образом выделим на каждой из прилежащих к прямому углу сторон [рассматриваемого] в нашим примере треугольника ДЕЗ линию, которая будет относиться ко всей стороне, на которой она была выделен, так же, как синус дуги 30 градусов относится синусу дуги 60 градусов. Итак, обозначим там точки таким же образом, как и в случае предшествующих точек. Очевидно, что если мы проведем из этих точек линии к двум точкам Д и З, принадлежащим нашему треугольнику, то возникнут два прямоугольных треугольника, [острые] углы которых будут равны 30 и 60 градусам. Очевидно, что оба острых угла треугольника ДЕЗ равны 45 градусам, так как каждый из них составляет половину прямого угла. Таким способом мы можем начертить углы до 90 градусов с интервалом в 15 градусов в треугольнике ДЕЗ, то есть углы 15 градусов, 30 градусов, 45 градусов, 60 градусов, 75 градусов, 90 градусов. Найдя эти точки, проведем из острого угла этого треугольника в конце первой пластины прямые линии, которые проходят через точки, отмеченные нами на второй пластине. Точно так же [проведем линии] из острого угла в конце второй пластины к точкам, отмеченным на первой пластине. В точках вершин острых углов этого треугольника проделаем отверстия, центром которых служат эти точки, и они [,т.е. плоскости этих отверстий,] будут перпендикулярны плоскости треугольника. Вставим в них два колышка, на вершине каждого из которых находится ползунок [דף — vane] с маленьким отверстием, способный двигаться в любом направлении — справа налево, или слева направо; в точках, обозначенных на двух этих пластинах, мы [также] установим ползунки [דף — vane] с отверстиями, [плоскости которых перпендикулярны плоскости треугольника. Основы этих колышков [שרשי היתדות] должны образовать прямой угол с линиями проеденными через эти точки. Через каждый из колышков проведем линию перпендикулярную плоскости треугольника из того места, где каждый из колышков пересекает ту линию, что проходит через их основания; центр отверстия в ползунке, принадлежащем определённому колышку, должен лежать на этой линии, а отверстия [в пластинах], принадлежащих этим колышкам, должны быть перпендикулярны поверхности колышка. Расположим эти отверстия [в ползунках] на одинаковой высоте над плоскостью треугольника.
Подобным образом мы создадим на другой стороне этих пластин еще одни треугольник, так чтоб мы смогли с помощью этого инструмента наблюдать одновременно и солнце и луну, когда солнце расположено к востоку или к западу от луны. Очевидным образом, эта пластина может находиться в двух положениях: в первом диагональная пластина расположена между глазом и прямой пластиной, перпендикулярной посоху; во втором — прямая пластина будет расположена между глазом и диагональной пластиной. Мы будем наблюдать луну из того места посоха, [которое расположено рядом] с глазом таким образом, что [видимый образ] луны будет касаться края второй пластины, [то есть края] на котором нет треугольника; [видимый образ] солнца пройдет через отверстие в одном из острых углов треугольника к одному из отверстий пластины, которое служит синусом [מיתר] этого угла. Когда солнце расположено к востоку от луны, мы направляем конец треугольника направо, и в противоположном направлении, когда солнце западное [,т.е. к западу от луны]. Если расстояние между солнцем и луной не превышает приблизительно 90 градусов, мы поместим диагональную пластину между прямой пластиной и глазом. Если же расстояние между солнцем и луной от 90 до 180 градусов, мы поместим прямую пластину между диагональной пластиной и глазом. Мы утверждаем, что когда луч солнца проходит через отверстие в одном из острых углов к одному из отверстий пластины (и это отверстие служит ей синусом [מיתר]), и когда луна видима из того места посоха, которое приближают к глазу, мы определили видимое расстояние между солнцем и луной. Благодаря этому мы сможем найти истинное расстояние от луны до солнца, при условии, что нам известна величина коррекции параллакса [התחלפות ההבטה]. Мы, с Божьей помощью, определим величину параллакса в дальнейшем.
Приведем пример. Пусть линия АБГ будет посохом, и пусть точка А находится в центре глаза, как мы описали выше, а точка Б будет в месте пересечения пластины и посоха в момент наблюдения. Пусть отмеченный на этой пластине прямоугольный треугольник будет треугольником ДЕЗ — его угол Д прямой, а углы Д и З острые. Точка Д находится в точке [, т.е. на вершине,] острого угла, расположенного в конце первой пластины. Итак, точки первой пластины мы обозначим как ДХТ, точки второй — как ЗКЛ. Прежде всего, предположим, что луч проходит из точки Д в точку Л таким образом, что угол ЕДЛ равен 15 градусам. В этом случае гипотенуза [קוטר] будет расположена между глазом и прямой пластиной; поставим точку М в конце первой пластины — напротив того конца, где расположены пластины образующие треугольник — именно там, в точке М, видимая нами луна касается этой пластины. Угол АБМ — прямой, и величина линий АБ и БМ известна. Благодаря этому мы можем определить угол БАМ приведенным выше способом, а через него мы найдем угол БМА, поскольку он является комплиментарным в 90 градусах. Предположим, что угол БМА равен 75 градусам, а угол ЕДЛ — 15 градусам. Я утверждаю, что расстояние от луны до солнца в момент наблюдения — это [угол] комплиментарный [этим углам] в 180 градусах, то есть угол 90 градусов. Доказательство. Линии ДЛ и МА, выходящие из концов линии ДМ, лежат в одной плоскости, и два угла, образованных линией ДМ, меньше двух прямых углов [,т.е. 180 градусов]. Поэтому две эти линии пересекутся, и в месте их пересечения возникнет угол комплиментарный в 180 градусах. Место их пересечения может быть уподоблено центру угла зрения, ибо вследствие малого расстояния от этой точки до центра зрения не будет ощутимой разницы в расстоянии между луной и солнцем при наблюдении из этой точки и при наблюдении из центра зрения. Итак, этот угол будет видимым угловым между луной и солнцем; когда местоположение луны будет скорректировано в соответствие с параллаксом в момент наблюдения, мы получим истинное местоположение луны в момент наблюдения. Очевидным образом, если при наблюдении периферия луны касается точки М, потребуется прибавить к расстоянию между луной и солнцем приблизительную величину полудиаметра луны, то есть около 15 минут, как мы, с Божьей помощью, покажем в дальнейшем.
Предположим также, что в данном примере луч проходит через точку Т в точку З; угол ЕТЗ равен 15 градусам, и угол ЕТЗ остается равным 75 градусам. Предположим также, что угол БМА, [как и] в предшествующей фигуре, равен 75; видимое угловое расстояние от луны до солнца в момент наблюдения останется углом, комплиментарным им в 180 градусах, то есть оно будет равно 30 градусам; силлогизм строится на этом [והקש על זה].
Пусть теперь прямая пластина треугольника находится между глазом и диагональной пластиной. Пусть фигура останется такой же, как она есть. Я утверждаю, что с помощью этого инструмента можно узнать видимое расстояние от луны до солнца. Предположим, что [в данном случае, как и] в предшествующем примере, луч проходит через точку Д к точке Л. Тогда луна будет видима в точке М. Я утверждаю, что видимое расстояние от луны до солнца может быть определено.
Доказательство. Проведем линии ДЛ и АМ; также из точки А проведем линию АН, параллельную линии ДЛ, и линию АС, параллельную линии ДМ. Мы утверждаем, что видимое расстояние между луной и солнцем равно углу НАМ. Ведь линии ДЛ и НА параллельны, и, значит, когда солнечный луч пройдет из точки Д в точку Л, он пройдет из точки Л в точку А. Ибо полудиаметр земного шара подобен точке по отношению к расстоянию от солнца до земли, и тем более расстояние между этими двумя линиями подобно точке. Таким образом, солнце и луна будут видимы под углом НАМ. Я утверждаю, что угол НАМ равен углу ЛДМ плюс угол, комплиментарный углу БМА в 180 градусах. Ведь два угла БМА и МАС равны двум прямым углам, а угол САН равен углу ЛДМ, поскольку линии, охватывающие эти два прямых угла, параллельны друг другу. Таким образом, угол НАМ равен углу ЛДМ и углу, комплиментарному углу БМА в 180 градусах, который равен углу МАС.
Пусть луч солнца проходит из точки Д к точке Е в то время, когда луна видна на прямой АМ. Я утверждаю, что угловое расстояние от луны до равно углу, комплиментарному углу БМА в 180 градусах. Рассмотрим ту же самую фигуру, где линия АС параллельна линии ДЕ. Из предшествующего способа ясно, что угол САМ является угловым расстоянием луны от солнца, и он является углом, комплиментарным углу БМА в 180 градусах.
Здесь мы завершили доказательства, касающиеся этого инструмента.