Внимание! На сайте Места встречи ведутся работы. Некоторые материалы и сервисы  могут быть временно недоступны! Внимание! На сайте Места встречи ведутся работы. Некоторые материалы и сервисы  могут быть временно недоступны! 

Здесь представлена первая часть пятого тома (из шести), составляющих монументальный труд р. Леви бен Гершома (Герсонида) "Войны Бога". Пятый том посвящен небесным телам. Следует напомнить что Ральбаг был не только выдающимся философом и мудрецом Торы, но и, видимо, самым выдающимся из еврейских математиков  и астрономов средних веков. В этой связи надо смотреть на эту часть первого тома, практически целиком посвященную научным вопросам.

Редакция сайта понимает, что весьма немногочисленны читатели, которые смогут прочесть этот текст и оценить его. Если среди читателей есть люди с математическим образованием, которых может увлечь идея превратить этот текст в удобочитаемый, разобраться в теоремах 13-го века, снабдить текст чертежами - свяжитесь с нами, пожалуйста.

Краткие сведения об авторе и книге, а также авторское введение и предисловие читайте здесь. Там же вы найдете ссылки на остальные тома книги.

©Перевод и комментарий Валерий Апанасик, 2011

Книга пятая

Часть первая

Сказал Леви бен Гершом. В предшествующих томах мы отчасти разъяснили те вопросы, которые будут рассмотрены в настоящем томе. В этом томе мы намереваемся рассмотреть возможность выдвижения таких моделей небесных тел и их свойств [מספרם], из которых можно вывести их [,т.е. небесных тел,] видимое движение во всех его аспектах. [Эти модели также должны] соответствовать как наблюдаемым изменениям величины их тел, так и основоположениям [науки о] природе. Вслед за этим мы исследуем, почему движениям небесных тел свойственна именно такая скоростью, ретроградность и прямое движение, такое склонение к северу и югу, и почему прочие привходящие свойства небесных тел именно таковы, каковы они есть. Затем мы, по мере сил нашего ума, рассмотрим, как соотносятся друг с другом двигатели небесных тел, и как соотнесен с ними Господь, благословен Он.
Таким образом, я разделил этот том на 3 части. Первая часть посвящена исследованию, в соответствие с нашими возможностями, моделей и свойств [מספרם] небесных тел. Вторая часть - объяснению, по мере наших возможностей, всех привходящих свойств небесных тел.
В третьей части будет, по мере наших возможностей, рассмотрено, как соотносятся двигатели небесных тел друг с другом и с Господом, благословен Он.

Первая часть.

В ней рассматриваются модели и свойства небесных тел.
Глава первая.

В ней мы докажем, что данный вопрос следует рассмотреть в этой книге.
Глава вторая.
В ней мы покажем, что трудность этого вопроса требует от нас его обстоятельного исследования.
Глава третья.
В ней мы рассмотрим некоторые трудности, связанные с постижением этого вопроса, и также объясним, что заставило нас создать инструмент для проведения наиболее точных наблюдений.
Глава четвертая.
В ней мы приведем некоторые предпосылки, которые будут полезны для нашего исследования в том что касается наблюдений и углов коррекции в моделях, которые будут установлены в процессе исследования. Эта глава состоит из пяти разделов.
Первый раздел.
В нем мы разъясним значения некоторых используемых в этой науке терминов.
Второй раздел.
В нем мы приведем геометрические доказательства, которые помогут нам обрести необходимые для этой науки знания дуг, синусов и версинусов. Он рассматривает самые необходимые в этой науке вещи.
Третий раздел.
В нем мы дадим указания, каким образом создать таблицы, содержащие дуги для нахождения соответствующих им синусов и версинусов, и наоборот.
Четвертый раздел
В нем вы создадим таблицы и объясним как ими пользоваться.
Пятый раздел
В нем мы сообщим, как находить углы и стороны треугольника, если некоторые из углов и сторон известны.
Глава пятая
В ней мы предложим способ определения величины полудиаметра солнца или луны по отношению к кругам их вращения с использования проходящего сквозь окно луча.
Глава шестая
В ней мы рассмотрим, каково местоположение центра [,т.е. вершины,] угла зрения наблюдателя, дабы с помощью этого мы смогли установить [угловое] расстояние звезд друг от друга на основании расстояния между ними, видимого с помощью изобретенного нами для наблюдений инструмента.
Глава седьмая
В ней мы опишем способ создания этого инструмента, а также скажем каким образом его использовать для нахождения [угловых] расстояний между звездами по отношению к эклиптике.
Глава восьмая
В ней мы объясним как, используя этот инструмент, определять высоту солнца или вообще любой звезды с величайшей точностью. На основании высоты можно найти соответствующий час для или ночи. Мы также покажем как определить расстояние звезды от экватора, когда она находится на меридиане.
Глава девятая
В ней мы покажем, что этот инструмент помогает нам определить величину диаметра звезды по отношению к кругу ее вращения.
Глава десятая
В ней мы объясним, как при помощи этого инструмента определить расстояние от луны до солнца по отношению к эклиптике, дабы это некоторым образом указало нам, как следует определять местоположения неподвижных звезд.
Глава одиннадцатая
В ней мы разъясним, как пользоваться этим инструментом, дабы избежать ошибок в наблюдениях.
Глава 12
В ней мы покажем, как создать астролябию, чтоб при ее использовании не возникло ошибок в наблюдениях, дабы с ее помощью можно было определить высоту звезды с наибольшей возможной точностью. Мы также покажем, как разделить ее градусы на минуты, даже если последние малы.
Глава 13
В ней мы укажем, как в любом месте с величайшей возможной точностью определить меридиан.
Глава 14
В ней мы покажем, какие трудности связаны с определением истинного местоположения неподвижных звезд по долготе и широте.
Глава 15
В ней мы дадим указания, как в любое желаемое время определить истинное местоположение солнца.
Глава 16
В ней мы покажем, как определять местоположения неподвижных звезд
Глава 17
В ней будет рассмотрено изменение величин планет, и показано, что здесь дело обстоит не так, как полагал Птолемей.
Глава 18
В ней мы разъясним, что в этом месте [нашего исследования] не следует приводить доказательства несоответствия модели Птолемея наблюдаемым движениям планет.
Глава 19
В ней мы приведем в качестве первоначального основоположения этого исследования свойства движений планет, которые наблюдали мы или другие [ученые]; и это необходимо для того, чтоб приведения это исследование к завершению.
Глава 20
В ней мы рассмотрим все представимые альтернативные модели, объясняющие изменения в движении долготы, исходя из предположения, что это движение простое; мы также опишем особенности этих моделей.



Глава первая

Мы обнаружили, что ни один из тех [наших] предшественников, чьи сочинения нам известны, не предпринял попытку полностью исследовать астрономию [חכמת בתכונה], и по этой причине она продолжает оставаться в ущербном состоянии. Поэтому мы решили [самостоятельно исследовать] этот предмет. Мы нашли, что те [ученые], кто исследует астрономию средствами математики, ограничиваются созданием приблизительной модели [תכונה], в соответствие с которой могут возникать наблюдаемые [явления], и не пытаются создать модель, соответствующую истине. Наличие в созданной ими модели множества затруднений [доказывает], что она [,т.е. истинная модель,] никак не может соответствовать предложенной ими модели.

Эти затруднения были замечены некоторыми исследователями природы и философами, и по этой причине они пришли к выводу, что модель [небесных] сфер не может быть таковой. Они также предприняли попытку показать, каким образом могут возникать наблюдаемые движения звезд и планет. Однако же, они устранились от этой трудной задачи, утверждая, что математики должны исследовать этот вопрос, ибо в качестве исследователей природы и философов они не в состоянии это осуществить. Тем не менее, математики также утверждают, что они, в качестве математиков, не обладают средствами для проведения этого исследования. Им достаточно создать возможную модель, в соответствие с которой возникают наблюдаемые движения звезд и планет по долготе и по широте, их стоянки, прямое и ретроградное движение. При этом для них не важно, соответствует эта модель природе ли нет, ибо математик, именно как математик, не в состоянии исследовать это [, т.е. он не способен соотнести математическую модель с действительными физическими явлениями].

В связи со сказанным возникает следующее затруднение: если достижение истины в этом исследовании [על אמתתה] недоступно ни математику, ни исследователю природы, ни философу, то кому же оно, в таком случае, доступно? Может быть такое исследование неподвластно ученым вообще?

Это затруднение мы предлагаем разрешить следующим образом. Хотя данное исследование как таковое не относится к общей науке, исследующей существующее именно в качестве существующего, оно, тем не менее, рассматривает некое движущееся сущее, именно в качестве движущегося. Оно также не относится к науке о природе [, т.е. физике]. Ведь она [,т.е. астрономия,] исследует движущееся существующее именно в аспекте его движения, поскольку большинство, или даже все, ее доказательства, взяты из геометрии. Вообще же, [ее доказательства связаны] с необходимо вытекающим из соответствующей [астрономической] модели количеством движений (для объяснения которых была выдвинута именно такая модель). Она [,т.е. астрономия,] также не принадлежит полностью математике, ибо в данном случае [,т.е. в случае математики,] свойства [этой модели] могут считаться соответствующим наблюдаемым движениям [звезд и планет], но при этом они могут не соответствовать природе [,т.е. не соответствовать доказанному наукой о природе,] или философии. Таким образом истина в этом следовании может быть достигнута лишь всем упомянутым наукам вместе: математическая наука [должна] заниматься ее [,т.е. астрономии,] математические доказательствами, а наука о природе и философия - ее естественнонаучными и философскими доказательства. Однако же, единое исследование, именно как единое, не может быть распределено между представителями различных наук, ибо второй ученый не сможет обнаружить [возможные] недостатки в исследованиях первого, не ознакомившись прежде с тем, что доказал в отношение рассматриваемого вопроса первый учёный, определив таким способом, что в исследовании первого ученого было приведено к совершенству, а что нет. Но [, если прежде, чем преступить к собственному исследованию, второй ученый ознакомится с доказательствами первого ученого, ] то окажется, что второй [ученый] проводит это исследование в качестве представителя обеих наук. Сказанное совершенно очевидно читателю этой книги, и поэтому было бы излишним и ненужным продолжать объяснение.

Итак, данное исследование как целое должно проводиться человеком, являющимся одновременно математиком, исследователем природы и философом, ибо [лишь] такой [ученый] сможет осуществить это исследование, поскольку он использует все эти науки и берет из них все необходимое для проведения своего исследования. И поскольку эта книга именно такова, то есть она не ограничена исключительно математикой или естествознанием, или философией, становится понятно, что эта книга является полным исследованием данного вопроса.

Глава вторая

Показав, что эта книга в состоянии предложить полное исследование [науки астрономии], мы считаем нужным подробно рассказать об этом исследовании, ибо эта наука [,т.е. астрономия,] обладает огромной ценностью как сама по себе, так и в качестве средства постижения определенных вещей в других науках.

Ее самостоятельная ценность очевидна, ибо важность исследования определяется важностью исследуемого предмета, а предметом данного исследования [,т.е. астрономии,] как известно, является небесное тело, превосходящее своей значительностью все естественные формы. Также движущая его [,т.е. небесное тело,] форма - наиболее значительная из всех естественных форм. [Более того], они [,т.е. небесное тело и другие естественные вещи,] не соотносим, ибо термины "субстрат" и "форма" сказываются о нем [,т.е. о небесном теле,] и о других естественных вещах исключительно омонимически. Все это было доказано наукой о природе.

[Теперь рассмотрим утверждение, что] она способствует [постижению] других наук. Она дивным образом способствует [постижению] науки о природе и науки о Божестве [,т.е. метафизики,] ибо рассмотрение ее форм [,т.е. форм, тела которых, исследует астрономия,] есть плод и цель Божественной науки (благодаря этому рассмотрению лишь эта наука [,т.е. метафизика,] достойна названия Божественной). Она [,т.е. астрономия,] некоторым образом способствует постижению общественной философии, как показал Птолемей в первой книге Альмагеста.

Пророки и говорящие святым духом указали нам на необходимость подробного рассмотрения этого вопроса [,т.е. астрономии], ибо это рассмотрение, как будет доказано в дальнейшем, поможет нам постигнуть Господа, благословен Он. Ведь эти сферы, звезды и планеты созданы словом Господа, благословен Он. Это мы, с Божьей помощью, покажем в продолжение этого тома, рассматривая величие мудрости Господа, благословен Он, и величие Его силы в приведении к существованию, с такой дивной мудростью, этих значительных тел.

От них исходят различные эманации, благодаря которым возникает это низшее существование [,т.е. вещи подлунного мира]. Так происходит несмотря на то, что все они [,т.е. небесные тела,] обладают одинаковой природой, в которой не содержатся те качества, что эманируют от них. Он [,т.е. Бог,] устроил их так, что исполнение возложенного на них Господом, благословен Он, в день их творения не утомляет и не истощает их.

Поэтому и сказал пророк Ишаягу - "Поднимите глаза ваши в высоту (небес) и посмотрите: кто сотворил их? Тот, кто выводит воинство их счетом, всех их по имени называет Он; от Великого могуществом и (от) Мощного силой никто не скроется"[1]. Этим он хотел сказать - поднимите глаза ваши и взгляните не звезды, и постигните таким образом Создавшего их, ибо это [,т.е. изучение звезд,] поможет вам понять, что они были созданы, а также постичь их создателя. Ибо в их создании вы увидите величие мудрости и величие силы, проявляющиеся в том, что они наделены именами, отличающими их друг от друга благодаря различию в действиях, эманирующих от них к этому низшему миру. Каждая из них обладает великим могуществом и мощной силой для исполнения возложенного на них Господом, благословен Он, в день их творения. Говоря "Тот, кто выводит воинство их счетом" он [,т.е. Ишаягу,] имел в виду, что число небесного воинство, которое Он выводит от восточного горизонта, точно определено, дабы показать, что нет в его движении усталости и измождения. По этой причине мы всегда находим, что оно движется одинаковым образом.[2] Либо же "Тот, кто выводит воинство их счетом" означает, что воинство, которое Он выводит, таково числом, каким оно должно быть, дабы от него возникло то, что должно возникнуть. Итак, благодаря великой мощи Господа, благословен Он, не скрылась ни одна из звезд, необходимых для приведения к совершенству существующего [в подлунном мире]. [Сказанное нами] подобно основанию доказательства возникновения этих небесных тел, которое мы, с Божьей помощью, приведем в дальнейшем.

О том же говорил и Давид, описывая величие ступени [существования] Господа, благословен Он, - "Когда вижу я небеса Твои, дело перстов Твоих, луну и звезды, которые устроил Ты, (Думаю): что (есть) человек, что Ты помнишь его, и сын человеческий, что Ты вспоминаешь о нем?"[3]. Он хотел этим сказать: я вижу небеса Твои, о которых [все] знают, что они сотворены Твоими перстами, ибо в их творении - дивная мудрость, и, в особенности, в луне, звездах и планетах, которые Ты установил. И это мы, с Божьей помощью, покажем в дальнейшем. Сказанное в большей степени очевидно в отношение луны, чем в отношение других звезд и планет. Ведь хотя и луна, и звезды, и планеты обладают природой небесного тела [,т.е. природой эфира,] мы наблюдаем существенное отличие луны от других звезд и планет. Ведь тело луны - непрозрачно[4], и она получает свой свет от другого [светила], что, как будет показано, не свойственно другим звездам и планетам. Более того, сами части луны отличаются друг от друга, о чем мы можем судить по тени на теле луны [,т.е. по лунным "морям"]. Все они [звезды и планеты] обладают еще одним удивительным свойством: несмотря на то, что у всех них одна и та же природа, лучи различных звезд и планет отличаются друг от друга своим видом и цветом. Все это оказалось бы невозможным, если бы, как мы докажем в дальнейшем, эти небесные тела не были сотворены. Сколь же дивно, что Ты, в чудесном величии ступени [Своего существования], которое открывается нам в исследовании этих небесных тел, помнишь и заботишься о столь низком и малом творении - человеке. Все это должно заставить нас погрузиться в это поразительное исследование, приносящее столь дивный плод.

Это исследование столь величественно, что даже малое наше постижение в нем более желанно и значительно для нас, чем совершенное исследование [,т.е. постижение,] менее величественных и значительных вещей. И это совершенно очевидно в свете [наших знаний] о человеческом стремлении. Таким образом, понятно, что если мы сможем довести это исследование до наибольшего совершенства, разрешив все затруднения и сомнения, то оно окажется наиболее значительным и желанным [достижением человека]. Поэтому мы постараемся привести это исследование к совершенству всеми доступными нами способами.

Глава третья

От нас не должно сокрыться, что этот вопрос труден [для постижения] из-за сложности проведения необходимых этого исследования наблюдений. Это тем более верно в наше время, когда люди прекратили исследования в этой науке с помощью наблюдательных инструментов [כלי הבטה], удовлетворяясь тем, что утверждают [их] предшественники. По этой причине, мы не нашли у наших предшественников - со времен Птолемея и до наших дней - наблюдений, которыми мы могли бы воспользоваться в данном исследовании, за исключением собственных наблюдений аль-Батани, которые он считает верными. Однако, эти наблюдения нам неизвестны.

Более того, когда мы наблюдаем планеты, мы находим, что их движение и не свпадает с движением, описываемым моделью Птолемея. В каком-то аспекте в этой модели возникла путаница. Эта ошибка в них [,т.е. в определяемых моделью Птолемея движениях планет,] могла возникнуть либо из-за того, что их [,т.е. планет,] [действительный] апогей не соответствует вычисленному Птолемеем или, позднее, аль-Батани. Либо поскольку мера коррекции движения центра [תקון תנועת המרכז][5] не соответствует этим вычислениям. Либо поскольку мера коррекции движения аномалии не совпадает с этими вычислениям. Либо поскольку величина поправки склонения диаметра движения аномалии не совпадает с этими вычислениями. Либо поскольку местоположение планеты по долготе отличается от местоположения, определяемого этими вычислениями. Либо же потому, что местоположение планеты в движении аномалии отлично от местоположения, определяемого этими вычислениями. Либо же это происходит одновременно по нескольким, или всем, упомянутым причинам. В последнем случае путаница значительно усиливается, ведь тогда придется исказить ошибку, связанную в каждой из этих причин. Это чрезвычайно трудно и требует многочисленных наблюдений, которые позволят осуществить эту проверку [причин ошибочности модели Птолемея], как станет ясно в дальнейшем. Поскольку для этого необходимо столь значительное число наблюдений, по-видимому, они осуществимы лишь в течение чрезвычайно продолжительного времени, многократно превосходящего жизнь человека. Однако, даже проведение одного наблюдения сопряжено с трудностями, ибо в данном случае истинным наблюдением будет наблюдение планеты в соединении с одной из неподвижных звезд, местоположение которых нам известно. В таком наблюдении не может быть сомнения и неясности, ибо в нем не возникнет ошибки из-за облаков или воздушных испарений, через которые мы наблюдаем [небесные тела]. При таким наблюдении [,т.е. наблюдении соединения планеты с одной из неподвижных звезд,] у нас нет необходимости в каком-либо из наблюдательных инструментов и благодаря этому мы будет избавлены от возможной ошибки. Тем не менее, такое наблюдение доступно лишь изредка, и таким образом невозможно провести многочисленные наблюдения, которые необходимы нам, чтобы установить, в чем именно заключается расхождение между наблюдаемым местоположением планеты и [ее местоположением], определяемым моделью Птолемея.

Ты найдешь, что все предшественники Птолемея осуществляли проверку [своих выводов] с помощью этих упомянутых нами наблюдений [,т.е. соединений планет с неподвижными звездами], ибо они понимали, что в таких наблюдениях не случаются ошибки. Если бы мы захотели воспользоваться для наблюдений созданным Птолемеем инструментом, предназначенным для определения местоположения любой звезды в любое время, а именно, инструментом состоящим из колец[6], то проеденные с помощью этого инструмента наблюдения были бы недостоверны. Ведь при его изготовлении случаются ошибки. Сделать его настолько трудно, что в нашей стране невозможно найти ремесленника, способного изготовить этот инструмент с точностью. Очевидно, что если в при изготовлении этого инструмента будет совершена ошибка, это приведет к ошибке в производимых с его помощью наблюдениях. И даже если мы примем, что есть [мастер, способный изготовить точный инструмент,] все же может случиться, что покинув ремесленника инструмент погнется, то есть погнутся некоторые, или все, круги [этого инструмента]. По этой причине мы не будем в наших сужениях об истинном [положении планет] полагаться на такой инструмент. Более того, наблюдать сквозь его отверстия чрезвычайно трудно, практически невозможно. Ты это поймёшь, если попытаешься наблюдать какую-нибудь из не слишком ярких звезд сквозь два отверстия алидады астролябии [לוח אצטורלאב . Алидада (позднелат. alidada, от араб. аль-идада — линейка) - деталь астрономических и геодезических угломерных инструментов, вращающаяся вокруг оси, проходящей через центр лимба. С помощью двух верньеров или микроскопов, расположенных на противоположных концах алидады, производятся отсчёты угловых делений лимба.

Лимб - плоское металлическое кольцо, разделённое штрихами на равные доли окружности - например, градусы, минуты или др. Это наиболее важная часть угломерных инструментов (астрономических, геодезических, физических и др.), служащая для отсчётов величин углов. Деления на лимбе отсчитываются с помощью Верньеров или микроскопов-микрометров.

Веньер - в приборостроении это приспособление для точного отсчёта длин или углов по делениям шкалы. Действие В. основано на способности глаза уверенно устанавливать совпадение двух штрихов, когда один из них является продолжением другого и концы их совпадают. В. представляет собой подвижную шкалу, которая может скользить вдоль основной; деления на подвижной шкале несколько более мелкие, чем на основной.] . Из сказанного ясно, что пользуясь этим инструментом невозможно [перейти к] наблюдению [одной] неподвижной звезды через короткий промежуток времени послед наблюдения другой, без того чтоб за время, прошедшее между этими двумя наблюдениями, неподвижные звезды не переместились на ощутимое расстояние. Таким образом, ясно, что с помощью этого инструмента нельзя определить расстояние одних наблюдаемых звезд от других. Более того, даже если мы примем возможность проведения наблюдений таким способом [,т.е. с помощью астролябии Птолемея], или же первым упомянутым нами способом [,т.е. чрез соединение планеты с неподвижной звездой], мы должны прежде этого знать местоположение той звезды, которая позволит нам определить местоположение планеты. Но в настоящее время это [,т.е. местоположения звезд,] вызывают такое же сомнение, как и местоположения планет. Ведь и поныне существую огромные затруднения, связанные с движением неподвижных звезд, вызвавшие серьёзные расхождения во мнениях среди [наших] предшественников. Все это заставляет усомниться [в принятом] местоположении неподвижных звезд.

Если же мы решим определить местоположения звезд с помощью астролябии или квадранта [רביע העגול], определяя их высоту [над горизонтом] в время прохождения ими меридиана [קו חצי היום], как сказано в книге, описывающей использование астролябии, такое наблюдение окажется [лишь] приблизительным по ряду причин.

Во-первых, неверно изготовленный инструмент в соединении с незначительной ошибкой в определении высоты приведут к большой ошибке [в конечном результате]. Исследовав все оказавшиеся в наших руках инструменты, мы обнаружили в них серьёзную погрешность, доходящую до 1 градуса, которая возникла при их изготовлении. Эта ошибка могла произойти либо из-за неправильного деления на градусы [,т.е. неверного нанесения градусов на астролябию,] либо из-за того, что диаметр инструмента отклонен влево или вправо, либо из-за алидады, на которой расположены два ползунка с отверстиями [דפין].

[Это может произойти, если] отверстия располагаются так, что соединяющая их линия не параллельна линии алидады, указывающей на высоту [גובה] в том месте, где она пересекает градусы астролябии. Ошибка может возникнуть любым указанным образом, а когда все эти ошибки, или некоторые из них, соединятся, они приведут к серьёзной ошибке в определении местоположения звезды или планеты.
Во-вторых, из-за малой величины [разметки] градусов [на астролябии] возможно лишь приблизительно определить часть градуса.
В-третьих, с помощью такого инструмента возможно осуществлять лишь приблизительные наблюдения. Ведь возможное отклонение[7] может превосходить 10 градусов, в особенности если [звезда или планета] находится на [значительной] широте в Близнецах или Раке, либо в Стрельце или Козероге, ибо с помощью подобных инструментов там невозможно определить [различие] в склонении [נטיה] сферы зодиака при [долготе] в пределах от 10 градов в сторону уменьшения и до 10 градусов в сторону увеличения [от лини соединяющей начало Рака и начало Козерога]. Я хочу сказать, что от 20 [градусов] Близнецов и до 10 градусов Рака невозможно определить склонение с помощью таких инструментов . Поэтому в данном месте [ эклиптики] небольшая ошибка в [определении] высоты звезды или планеты приведет к значительной ошибке в [определении] местоположения звезды или планеты по долготе.
Тебе следует знать, что определение склонения звезд и планет, как показывают многочисленные наблюдения, по сей день далеко от совершенства. Ведь если мы, пользуясь вычислениями Птолемея, через высоту наблюдаемой звезды или планеты определим ее склонение, возникнет значительная ошибка. Более того, мы не сможем с помощью высоты определить ее местоположение по долготе, если мы сперва не найдем величину склонения к северу или югу, соответствующую этому местоположению по долготе. Из сказанного с необходимостью следует, что мы, прежде чем с помощью подобных инструментов преступить к нахождению местоположения по долготе, должны узнать местоположение по долготе, что абсурдно. Поскольку, как мы показали, постичь это трудно, и поскольку опыт многократно нам доказывал, что [действительное] движение звезд и планет, а также и их склонения, не совпадают с рассчитанными в соответствие с моделью Птолемея, мы постарались создать инструмент, который исключает [возможность] ошибки как при его создании, так и при [его использовании в] наблюдении. Мы решили воспользоваться этим инструментом для некоторых весьма полезных в настоящем исследовании наблюдений. С Божьего соизволения, с его помощью мы придём к истинной модели звезд и планет, дабы определяемые на ее основании движения звезд и планет совпадали с наблюдаемыми.
Мы не хотели откладывать [написание этого астрономического исследования] до окончания всех необходимых для него наблюдений, и ограничились небольшим числом наблюдений, из которых приложив значительные усилия, мы сможем извлечь необходимое нам для наибольшего возможного приближения к истинной [астрономической] модели. [Мы поступили так,] поскольку страшились, чтоб эта наука не пострадала из-за нашей смерти [прежде завершения всех необходимых наблюдений], а также из-за сложность и глубины тех способов [исследования], что привели нас к обнаружению истины; ибо, решись мы привести их здесь, наше сочинение оказалось бы чересчур длинным. Мы решили не описывать все те способы [исследования], которые привели нас к силлогизмам механики [הקשים תחבולתיים] в объяснениях, относящем к каждой из планет, так как это удлинило бы наше сочинение сверх всякой меры. В добавок такое рассмотрение было бы слишком сложным: оно не только не принесло бы пользы читателю, но и отвратило бы его от этих вещей своей пространностью пространности и [чрезмерной] глубиной. Поэтому мы упоминаем лишь некоторые из них [,т.е. некоторые из способов исследования,] дабы благодаря этому совершенный исследователь смог [самостоятельно] сформулировать силлогизмы механики [הקשים תחבולתיים], с помощью которых можно прийти к нашим объяснениям [движения] каждой из планет. Итак, мы, вне всякого сомнения, показали истинность выдвинутой нами для каждой из планет модели, а также невозможность существования иной модели, соответствующей наблюдаемым движениям звезд и планет по долготе и по широте. Этого читателю будет достаточно, ибо нет большой пользы в этих сложных исследованиях, позволяющих сформулировать необходимые для данного исследования силлогизмы механики. [Они полезны] лишь как предпосылки, [необходимые] для обретения истины в настоящем исследовании, однако сверх того в них нет большой пользы - разве для тех, кто ищет славы.
Если Господь пожелает и наделит нас [долгой] жизнью для завершения необходимых для этого [исследования] наблюдений, благодаря которым мы сможем с большей лёгкостью истолковать эти вопросы, то мы, с Божьей помощью, вернемся к рассмотрению упомянутых вопросов на основании этих наблюдений в другой книге, или же в этой же самой этой книге, если успеем прежде, чем она распространится [различных] странах. Ибо тогда [,т.е. после проведения всех необходимых наблюдений,] мы сможем в подробностях описать те способы, которыми были сформулированы силлогизмы механики, избегая [при этом излишней] глубины рассмотрения и излишней пространности объяснения.
Прежде, чем перейти к рассказу об этом [нашем] инструменте, мы приведем некоторые полезные замечания, относящиеся ко всем нашим исследованиям [, помогшим создать] этого инструмента и ко всем движениям, определяемым каждой из моделей [движения планет], которые могут быть сформулированы таким образом, что на их основании станет возможно определить наблюдаемые движения планет - [их] быстрое [движение], замедленное, прямое движение и ретроградное. Вместе с этим мы рассмотрим дуги и хорды [или синусы], без которых невозможно приступить к настоящему исследованию. И хотя в данном отношении достаточно сказанного Птолемеем в книге "Альмагест", мы не хотим, чтоб наша книг была лишена чего-либо необходимого для этого исследования. Ведь может статься, что она попадет в руки человеку, в распоряжении которого не будет книги "Альмагест", и [как следствие] он будет лишен пользы этой книги. По той же причине мы решили рассмотреть в нашей книге некоторые вопросы, для [понимания] которых достаточно сказанного Птолемеем, как то восхождение зодиакальных знаков - прямое и косое и другие подобные вещи.

Глава четвертая

Эта глава состоит из трех частей.

Первая часть разъясняет некоторые используемые нами термины.
Тебе следует знать, что все астрономы [חכמי המזלות] делят дугу окружности круга на 360 частей, каждая из которых называется градусом. Каждый градус делится на 60 частей, называемых минутами, или первыми [частями], а каждая из них [в свою очередь] делится на 60 частей, которые называются секундами. Таким же образом секунды делятся на третьи [части], а третьи - на четвертые, и это деление продолжается до бесконечности в зависимости от требующейся точности.
Сферу зодиака сначала разделили на 12 равных частей, каждая из которых называется "знаком". Знак делится на 30 градусов. Таким образом, [число] градусов сферы [зодиака] оказывается равным 360. Диаметр круга разделили на 120 градусов, несмотря на то, что число этих градусов отличается от числа градусов окружности.
Любая часть окружности называется дугой, а прямая линия, соединяющая два конца дуги именуется хордой - [хордой] этой дуги или дуги оставшейся части окружности. Линия, соединяющая центр этой хорды с центром этой дуги называется стрелкой [חץ] к середине дуги, или версинусом [מיתר נזור - versine - обратный синус]. Половина хорды именуется синусом [נוכחות] половины этой дуги, или полухордой. Евклид объясняет, что упомянутый нами версинус находится к синусу под прямым углом, а также лежит на прямой диаметра круга, то есть если мы продлим эту прямую до другой стороны окружности, она пройдет через центр круга.
Движение, которое Птолемей приписывает эпициклу [גלגל ההקפה], мы называем движением аномалии [תנועת החילוף]. Место, именуем Птолемеем апогеем [גובה], мы ради терминологического единообразия также [как он] называем апогеем, но смысл [нашего термина] иной - этом место может не быть от земли дальше, чем прочие части сферы.
Часть вторая. В ней мы приведем некоторые геометрические доказательства, которые дадут нам необходимые знания о дугах и хордах. Хорда дуги тождественна хорде оставшейся [, т.е. комплиментарной,] дуги этого круга. Ты увидишь это, если начертишь круг этой дуги полностью. Тогда тебе станет ясно, что одна и та же хорда принадлежит всем этим дугам [,т.е. двум дугам]. Из этого также понятно, что полухорда некоей дуги является и полухордой дуги, оставшейся из 180 градусов.
[Теорема] Квадрат хорды [המרובע ההווה ממיתר קשת] некоей дуги равен площади [фигуры], ограниченной хордой этой дуги и диаметром, [пересекающимися] под прямым углом. Приведем пример. Пусть имеется дуга АБ, хордой которой служит линия АБ, диаметром окружности - прямая линия АГ, а линия АД этой прямой - версинус дуги АБ. Я утверждаю, что [результат] умножения прямой АБ на саму себя [הכאת הקו בעצמו] равен произведению прямых АД и АГ.
Доказательство. Продолжим дугу АБ до [точки] Г, чтобы дуга АБГ стала полукругом, а также проведем прямые линии БГ и БД. Очевидно, что угол АБГ, как и угол БДА, прямой, поскольку линия БД - это синус [נוכחות] дуги БА, а синус образует прямой угол с диаметром. Я утверждаю, что треугольники АДБ и АБГ подобны [מתדמים], так как углы АДБ и АБГ прямые, а угол А принадлежит обоим треугольникам. Остававшийся угол АБД треугольника АДВ равен оставшемуся в треугольнике АБГ углу АГБ. Из сказанного ясно, что треугольники АДБ и АБГ подобны, а их стороны, прилежащие к равным углам, - пропорциональны [מתייחסים]. Поэтому линия АД треугольника АДБ относится к линии АБ треугольника АБГ так же, как линия АБ треугольника АДБ к линии АГ треугольника АБГ. Поскольку дело обстоит таким образом, очевидно, что произведение второго и третьего, то есть [результат] умножения линии АБ на саму себя, равен произведению первого и четвёртого, то есть произведению линии АД и линии АГ. Это мы и хотели доказать.
Из этой фигуры понятно, что если известна величина линии БА, то можно узнать величину линии АД следующим образом. Поскольку известна величина линии БА, известен и ее квадрат. Когда мы разделим его на величину линии ГА, чья величина известна, поскольку она является диаметром окружности, а он считается равным 120 градусам, мы получим линию АД. Эта фигура показывает, что если известна величина линии АД, то известна и величина линии БА. Ибо если известна величина линии АД, то известно произведение линии АД и линии АГ, поскольку, как уже было сказано, величина линии АГ известна. Квадратный корень этого произведения будет величиной линии АБ.
Я также утверждаю, что если известна хорда или версинус некоей дуги, то известен и синус этой дуги. Ведь с помощью одного из них можно определить другой, а с помощью их обоих можно найти синус, поскольку квадрат хорды равен [сумме] квадратов версинуса и синуса. Это понятно из предшествующей фигуры, так как угол БДА прямой, квадрат линии БА равен квадратам линий БД и ДА, и линия БД - это, очевидно, синус дуги БА. Из сказанного ясно, что вычтя квадрат известной нам линии АД из квадрата линии АБ, мы узнаем остаток, а взяв его квадратный корень мы найдем [линию] БД. Это можно доказать иным, более легким способом. Мы утверждаем, что если известен версинус, можно узнать и синус, а именно, если в предшествующей фигуре известна величина линии АД, то можно определить величину линии ДБ. Ведь, как было доказано, треугольники АДБ и БДГ подобны, поскольку, как говорилось выше, углы АДБ и БДГ прямые, а угол АБД равен углу Г, и [поэтому] угол А равен углу ГБД. Из сказанного ясно, что грани этих треугольников, противолежащие равным углам, пропорциональны. Поэтому линия АД треугольника БДА относится к линии БД треугольника БДГ так же, как линия БД треугольника БДА относится к линии ГД треугольника ГДБ. Из сказанного ясно, что произведение первого и четвёртого равно произведению второго и третьего, то есть произведение линии АД и лини ДГ равно линии ДБ умноженной на саму себя. Таким образом, понятно, что линия ГД известна, поскольку известна линия АД. Линия АГ, служащая диаметром окружности, известна, и, следовательно, известна линия ГД. Таким образом, ясно, что произведение линии АД и линии ДГ известно. После извлечения квадратного корня из этого произведения мы получим линию БД, и тем самым установим величину линии БД, что мы и намеревались доказать.
Из сказанного ясно, что если известна хорда некоей дуги, то известна и хорда дуги, полученной удвоением этой дуги. Из нее можно определить синус этой хорды, а удвоив его мы получим хорду удвоенной дуги. Я также утверждаю, что если известен версинус некоей дуги, то можно найти комплиментарную хорду [מיתר השלמות] в 180 градусах. Ведь, [возвращаясь] примеру предшествующей фигуры, если известна линия АД, мы можем узнать линию ГД, являющуюся остатком диаметра. А узнав величину линии ГД, мы, как было сказано выше, определим с ее помощью величину хорды БГ.
[Теорема:] Если прибавить версинус некоей дуги к синусу комплиментарной дуги в 90 градусах, сумма будет равна полудиаметру. Пусть имеется дуга АБГ [величиной] 90 градусов с центром в точке З, где версинус дуги АБ - это линия АД, а синус дуги БГ - линия БЕ. Я утверждаю, что сумма двух линий - АД и БЕ равна полудиаметру.
Доказательство. Проведем линию БД между двумя точкам - Б и Д. Линия БД, очевидно, является синусом дуги АБ. Продлим линию [АД] до точки З, являющейся центром круга, ибо дуга всегда проходит через диаметр круга. Проведем также прямую линию ГЕЗ. Очевидно, линия ГЕЗ - это одна прямая линия, поскольку линия ГЕ это версинус дуги БГ, а версинус, как доказал Евклид, необходимым образом расположен на прямой диаметра круга. Понятно, что угол АЗГ прямой, так как дуга АБГ - это четверть круга. И поскольку углы АДБ и ГЕБ также являются прямыми, то, как следует из сказанного Евклидом, линии БД и ЕЗ параллельны. Таким же образом дело обстоит и с линиями БЕ и ДЗ. Из сказанного ясно, что эти параллельные линии равны, и, следовательно, линия БЕ равна линии ДЗ. А поскольку две линии - АД и ДЗ составляют полудиаметр, их [сумма], очевидно, равна полудиаметру, что мы и хотели доказать. Из этого вытекает, что если известен версинус некоей дуги, то известен и синус комплиментарной [дуги] в 90 градусах. Обратное также верно: если известен синус некоей дуги, то комплиментарная дуга в 90 градусах также известна. Это мы и намеревались доказать.
[Теорема] Мы хотим доказать, что версинус дуги, большей чем 90 градусов, равен сумме синуса дуги 90 градусов, являющегося полудиаметром, и синуса той [части] дуги, что превышает 90 градусов. Например, пусть дуга АБГ с центром З превышает четверть круга. Ее часть - дуга АБ - составляет 90 градусов. Версинус дуги АБГ - это линия АЗД, а синус дуги БГ - это линия ГЕ. Я утверждаю, что АЗД равна сумме полудиаметра и лини ГЕ.
Доказательство. Проведем линию ГД, являющуюся синусом дуги АБГ, и линию БЗ. Очевидно, что углы ГДЗ, БЗД и БЕГ - прямые. Из этого следует, что линии ЕГ и ЗД параллельны и равны. Из сказанного ясно - линия АЗД равна [сумме] двух линий АЗ и ЕГ, что мы и хотели доказать.
[Теорема] Если известны синусы и версинусы двух нетождественных дуг, то можно определить хорду дуги, равной этим двум дугам, а также хорду одной из комплиментарных дуг. Пусть, например, имеются две нетождественные дуги - АБ и БГ; из них дуга АБ - большая. Синус дуги АБ - это линия АЕ, а ее версинус - это линия БЕ. Синус дуги БГ - это линия ГЗ, а ее версинус - это линя БЗ. Очевидным образом, линия БЗ может лежать только на линии БЕ, так как оба версинуса идут из точки Б к центру круга. Начертим дугу БГД, равную дуге АБ, и проведем прямую линия АЕ до точки Д. Очевидно, эта линия достигнет точки Д по прямой, поскольку хорда дуги АБД делится пополам в точке Е, так что линия АЕ оказывается синусом дуги АБ. Из этого также ясно, что линия ЕД равна линии АЕ. Проведем из точки Г линию ГЖ перпендикулярную линии АД и достигающую точки Ж, если точка Ж не окажется, как во второй фигуре, между точками А и Д. Проведем прямые линии АГ и ГД; линия АГ служит хордой объединенной дуге АБ-БГ, а линия ГД хордой той части [объединенной] дуги, на которую АБ превосходит БГ, ибо, в соответствие с условием, дуга БГД равна дуге АБ. Я утверждаю, что если известны синусы и версинусы двух дуг АБ и БГ, которыми в данном примере являются линии АЕ, ГЗ, БЕ и БЗ, то известна и хорда дуги АБГ - линия АГ в настоящем примере. Также известна хорда той дуги, на которую дуга АБ превосходит дугу БГ - линия ГД в настоящем примере. Ведь квадрат хорды суммы двух дуг равен сумме квадрата линии, равной двум синусам двух дуг, и квадрата той части, на которую большой версинус превосходит малый, то есть в настоящем примере квадрат линии АГ равен сумме квадрата линии, полученной сложением линий АЕ и ЗГ, и квадрата линии ЗЕ. Эти квадраты известны, поскольку известны линии, являющиеся их корнями. Квадрат хорды дуги ГД равен сумме квадрата той части, на которую один синус превосходит другой, и квадрата той части, на которую один версинус превосходит другой. Ведь поскольку углы З, Е и Ж прямые, линии ГЗ и ЖЕ параллельны, как и параллельны линии ЗЕ и ГЖ. Поэтому они также равны, то есть линия ЖЕ равна ГЗ и линия ГЖ рана линии ЗЕ. Поскольку угол ГЖА прямой, линия ГА в квадрате, очевидно, равна сумме квадратов линий ГЖ и ЖА. Однако, линия ЖА рана сумме синусов дуг АБ и БГ, а линия ГХ равна линии являющейся разницей двух версинусов.
Из сказанного ясно, что квадрат хорды суммы двух дуг равен квадрату линии, полученной сложением двух синусов двух дуг, сложенному с квадратом той части, на которую большой версинус превосходит малый. Подобным образом на основании этой фигуры можно показать, что квадрат хорды той дуги, на которую большая дуга превосходит малую, равен этим двум квадратам, то есть сумме квадрата той части, на которую один синус превосходит другой, и квадрата той части, на которую один версинус превосходит другой. Ведь в этом примере, линия ГД в квадрате, очевидно, равна сумме квадратов линий ГЖ и ЖД, где линия ЖД, очевидно, равна той части, на которую один синус превосходит другой, а линия ГЖ равна той части, на которую один версинус превосходит другой. Это мы и намеревались доказать
[Теорема] Мы хотим доказать, что если известен синус некоей дуги, то можно определить версинус этой дуги. Ведь известно расстояние синуса от центра, а на основании этого можно найти версинус. Например, пусть известен синус дуги АБ - линия АЕ. Центром круга является точка Д. Проведем линию БЕ на прямой диаметра круга, так что центр круга будет лежать на нем между точками Б и Е, если дуга АВ превосходит четверть круга. В первой фигуре это линия БДЕ, а во второй фигуре - это линия БЕД. Центр будет расположен после точки Е, если дуга АБ меньше четверти круга. В этом случае будет известен версинус - это линия ЕБ, поскольку она равна полудиаметру круга.
Если же точка Е не совпадает с центром круга, то я утверждаю, что возможно определить величину [линии] ЕД. Мы можем провести линию АД, равную, как мы знаем, полудиаметру, и вычесть квадрат линии АД, который можно узнать из квадрата известной нам линии АЕ. Квадратный корень остатка будет равен линии ДЕ, и, таким образом, мы определим линию ДЕ.
Поскольку линия БД известна, ее остаток - БЕ также известен. Из сказанного ясно, что дуга АБ в первой фигуре больше четверти круга, поскольку угол БДА превосходит внутренний угол Е треугольника АЕД. Однако, угол Е - прямой, а из этого с необходимостью следует, что угол БДА тупой, и, значит, дуга БА больше четверти круга. Подобным образом можно показать, что во второй фигуре угол БДА острый, а из этого с необходимостью следует, что дуга БА меньше четверти круга. В отношение этой фигуры также ясно, что версинус дуги меньшей, чем четверть круга, в этом примере меньше полудиаметра на величину линии ДЕ, а версинус дуги, превосходящей четверть круга, нашим примере превосходит полудиаметр на величину линии ДЕ.
[Теорема.] Поскольку, как мы показали выше, на основании версинуса можно определить хорду дуги, то из этой фигуры понятно, что если известна хорда некоей удвоенной дуги, то известен и синус этой дуги.
[Доказательство.] Если известен синус дуги, также известна и хорда этой удвоенной дуги, так как синус равен половине этой хорды, а хорда этой дуги известна через синус, что мы и хотели доказать.
Третья часть. В ней мы приведем указания для создания таблиц, с помощью которых можно определить синус и версинус любой дуги, и наоборот.
Мы уже показали, что зная синусы и версинусы любой дуги до 45 градусов, можно определить все [возможные] синусы и версинусы. Например, пусть будет известен синус и версинус 1/4 градуса. Мы утверждаем, что версинус и синус дуги (90 - 1/4) градусов также известны. Ведь, как было показано в предшествующей части, сумма версинуса второй дуги и синуса первой равна полудиаметру. То же верно и в отношение суммы синуса второй дуги и версинуса первой дуги. С помощью версинуса и синуса второй дуги можно определить версинус и синус дуги (90 - 1/4) градусов. Ибо ее синус тождественен синусу второй дуги, а сумма ее версинуса и версинуса второй дуги равна диаметру круга. С помощью версинуса и синуса первой дуги можно узнать версинус и синус [дуги] (180 - 1/40) градусов, поскольку ее синус тождественен синусу первой дуги, а сумма ее версинуса и версинуса первой дуги равна диаметру круга. Подобным образом можно показать, что если известны синусы и версинусы дуг до 45 градусов, можно определить синусы и версинусы прочих дуг.
Поскольку в предшествующей части мы разъяснили, как с помощью известного найти неизвестное во всем, что касается синусов и версинусов, здесь мы примем, что читателю этой книги известны [величины] трех хорд. Первая хорда принадлежит дуге 180 градусов, ибо ее величина равна диаметру круга, а на основании этого можно определить синус и версинус [дуги] 90 градусов, поскольку каждый из них равен полудиаметру, так как он выходит из центра [круга] и достигает окружности. Вторая хорда - 60 градусов, так как ее величина равна полудиаметру круга. Это достаточно легко понять - ведь еще Евклид доказал это. Поэтому синус дуги 30 градусов равен четверти диаметра. Ее версинус, как следует из сказанного выше, равен 8 градусам, 2 минутам, 18 секундам, 30 третьим и 46 четвертым в наибольшем приближении [בקרוב מועט]. Третья хорда - это сторона десятиугольника и хорда дуги 36 градусов. Ведь, как показал Евклид, если сложить сторону десятиугольника с четвертью диаметра круга, квадрат их суммы будет равен сумме квадратов полудиаметра и четверти диаметра. Таким образом, хорда дуги 36 градусов равна 37 градусам, 4 минутам, 55 секундам, 20 третьим и 30 четвертым в наибольшем приближении. Из этого синус дуги 18 градусов равен 18 градусам, 32 минутам, 27 секундам, 40 третьим и 15 четвертым в наибольшем приближении. Из сказанного выше ясно, что ее версинус равен 2 градусам, 56 минутам, 11 секундам, 45 третьим и 58 четвертым. Таким образом, из сказанного ранее понятно, что с помощью синуса дуги 90 градусов мы можем определить синусы и версинусы дуг 45 градусов, 22 1/2 градуса, 11 1/4 градуса. С помощью синуса дуги 30 градусов мы можем найти синусы и версинусы дуг 15 градусов, 7 1/2 градуса и (4 - 1/4) градуса. С помощью синуса дуги 18 градусов мы можем определить синусы и версинусы дуг 36 градусов, 9 градусов, 4 1/2 градуса и 2 1/4 градуса.
Из предшествующего также ясно, что с помощью синуса дуги 30 градусов и синуса дуги 18 градусов и их версинусов можно узнать синус половины суммы этих дуг, а именно 24 градусов, а с его помощью мы можем определить синусы и версинусы 12 градусов, 6 градусов, 3 градусов, 1 1/2 градуса и 3/4 градуса. Используя приведённые нами синусы мы сможем с легкостью определить все синусы всех дуг с интервалом 3/4 градуса. Например, с помощью синусов и версинусов дуг 15 градусов и 1 1/2 градуса мы можем определить синус дуги 8 1/4 градусов, а с помощью синусов и версинусов дуг 8 1/4 и 1 1/2 градусов мы найдем синус (10 - 1/4) градуса. Подобным образом мы сможем узнать все остальные [синусы и версинусы].
Мы можем найти синус дуги 1/4 градуса с помощью силлогизма механики [הקש תחבולי] следующим образом. Из синуса 8 1/4 градуса мы можем определить синус дуги 4 1/8 градуса. Таким способом мы будем продвигаться в сторону уменьшения [величин дуг] пока не определим синус дуги (1/4 + 1/128) градуса. Двигаясь тем же способом от синуса дуги (4 - 1/4) градуса мы найдем синус дуги (1/4 - 1/64) градуса. Применяя этот способ мы нашил, что отношение синуса дуги (1/4 + 1/128) градуса к синусу дуги (1/4 - 1/64) градуса с большой степенью точности соответствует отношению одной из этих дуг к другой, и это отношение не нарушается даже в четвертых [ступенях деления градуса]. Поэтому мы установили, что синус 1/4 градуса равен 1 градусу, 15 минутам, 42 секундам, 28 третьим, 32 четвертым и 7 пятым. На основании этой [величины] мы сможем определить все остальные синусы. Ибо с помощью синусов дуг 1/4 градуса и 3/4 градуса мы можем найти синусы дуг 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 и 32 градусов. Из синусов дуг 1/2 градуса и 2 градуса мы можем вывести синусы дуг 1 1/4, 2 1/2, 5, 10, 20 и 40 градусов. Тем же способом мы без труда приблизительно определим все синусы и версинусы до 45 градусов с интервалом 1/4 градуса, а с их помощью мы найдем все остальные [синусы и версинусы], о чем уже говорилось выше. Мы решили рассмотреть этим [способом] [значения синусов и версинусов] в интервалах 1/4 градуса, поскольку знание синусов с интервалом в 1 градус (а именно таким образом составлены многие таблицы) представляется нам недостаточным, ибо мы, пытаясь определить дугу соответствующую определённому синусу, в некоторых местах обнаружили ошибку, достигающую почти 15 минут дуги, в особенности, если эта дуга немого больше или немного меньше 90 градусов. Возьмем, например, синус 59 градусов, 59 минут и 52 секунды. Следуя таблицам с интервалом в 1 градус, соответствующая этому [синусу] дуга будет равна 89 градусам, 45 минутам и 27 секундам, если она меньше 90 градусов, а если она больше 90 градусов то соответствующая дуга будет равна 90 градуса, 14 минутам и 33 секундам. Из сказанного выше понятно, что будь это так, версинус дуги 14 минут и 33 секунды был бы равен 8 секундам. Однако выше мы уже показали, что когда величина версинуса равна 8 секундам, квадрат синуса этой дуги равен 15 минутам, 59 секундам, 58 третьим и 56 четвертым, ибо таков результат умножения 8 секунд на комплиментарную часть диаметра. Таким образом, величина синуса этой дуги размером 14 минут и 33 секунды окажется равной 30 минутам, 59 секундам и 52 четвертым, что ложно, поскольку этот синус соответствует дуге 29 минут 35 секунд. Таким образом, ясно, что дуга соответствующая упомянутому синусу больше или меньше 90 градусов на, приблизительно, 29 минут и 25 секунд. Поэтому ошибка другого способа [определения дуги по синусу] в данном случает превышает 15 минут. По этой причине мы решили создать наши таблицы с интервалом в 1/4 градуса, ибо таким образом при использовании этого соотношения не возникнет ощутимой ошибки.
Четвертая часть. В ней мы сформулируем таблицы для определения синуса и версинуса любой дуги, и наоборот [,т.е. для определения дуги по синусу и версинусу], а также объясним, как пользоваться этими таблицами.
Тебе следует знать, что эти таблицы содержат все синусы и все дуги с интервалом в 1/4 градуса, однако, мы не включили в них версинусы и хорды этих дуг. [Тем не менее,] с помощью этих таблиц можно определить хорду любой дуги, если ты сначала найдешь в них синус половины этой дуги. Удвоив его ты получишь хорду этой дуги. Благодаря этим таблицам можно определить версинусы всех дуг следующим образом: если величина дуги, версинус которой мы хотим определить, меньше 90 градусов, мы ищем в этих таблицах синус дуги, дополняющей дугу [, версинус которой мы хотим найти,] до 90 градусов. Искомый версинус будет [числом], дополняющим этот синус до полудиаметра. Если же величина дуги, версинус которой мы ищем, превосходит 90 градусов, то нам следует найти в этих таблицах синус той [части] дуги, которая превышает 90 градусов, и прибавить его к полудиаметру; таким способом мы получим искомый версинус. Применив обратный способ ты сможешь определить через версинус соответствующую ему дугу, то есть если он меньше 60 градусов, вычти его из 60 градусов и найди в этих таблицах, синусом какой дуги является остаток. Вычти эту дугу из 90 градусов; остаток - это соответствующая данному версинусу дуга. Но если версинус больше 60 градусов, найди для какой дуги остаток является синусом, прибавив к этой дуге 90 градусов ты получишь соответствующую этому версинусу дугу. Все это очевидно из сказанного нами во второй части этой главы. Если же известна дуга, и ты хочешь определить синус этой дуги, то найди в упомянутых таблицах эту дугу и против нее - соответствующий ей синус. Если ты не найдешь эту дугу в этих таблицах, то найди две ближайшие к ней дуги и возьми [в качестве синуса] среднее двух [указанных] против них синусов. Так же поступай, если не найдешь синус, через который ты хочешь определить соответствующую ему дугу. И поскольку, как легко понять из сказанного нами, чем ближе величина синуса к величине полудиаметра, тем больше ошибка при определении соответствующей ему дуги на основании пропорции двух ближайших к нему синусов, ты всегда должен находить дугу, соответствующую наименьшему синусу, когда одна из этих дуг позволяет определить другую. Например, если величина [,т.е. сумма,] двух дуг этих синусов равна 90 градусам, то через одну известную дугу можно определить вторую дугу, и в этом случае ты должен выбрать меньший синус меньшей дуги.
Теперь я расскажу об устройстве этих таблиц. Мы разделили таблицы на три колонки. Первая колонка содержит дуги до 90 градусов с интервалом 1/4 градуса. Во второй колонке записаны [дуги], комплиментарные до 180 градусов для дуг каждой из строк первой колонки. В третьей колонке содержится синус, соответствующий каждой из этих дуг. Таково строение таблиц.
Пятая часть. В ней мы расскажем, как определить углы и стороны треугольника, при условии, что некоторые их них нам известны.
[Теорема.] Если две стороны прямоугольного треугольника известны, то можно определить [оставшиеся] стороны и углы [этого треугольника].
[Доказательство.] Пусть имеется прямоугольный треугольник АБГ, две стороны которого известны. Я утверждаю, что можно определить оставшиеся углы и стороны. Ведь какие бы две из его сторон ни были известны, можно узнать третью стороны, поскольку квадрата гипотенузы, равен сумме квадратов оставшихся сторон. Поэтому если они [,т.е. катеты,] известны, известна и она [,т.е. гипотенуза]. А если из известна она [,т.е. гипотенуза,] и одна из оставшихся [сторон, т.е. катетов,] то можно узнать третью сторону [, т.е. катет], так как он равна разнице квадрата гипотенузы и квадрата другой известной стороны.
Допустим, что угол АБГ прямой, и две его стороны [,т.е. катета,] АГ и БГ известны. Я утверждая, что можно определить угол БАГ. Пусть точка А будет центром, проведем дугу ГЗ с радиусом АГ и начертим прямую линию АБЗ. Из сказанного выше понятно, что линия БГ - это синус дуги ГЗ. А поскольку обе линии АГ и БГ известны, ясно, что величина линии БГ известна, линия АГ - это полудиаметр 60 градусов. Эта величина известна из таблицы дуг и синусов для дуги соответствующей линии БГ, [взятой] как синус. И когда таким способом будет найдена дуга ГЗ, можно будет найти угол БАГ, в соответствие объяснением Евклида. А через него [,т.е через угол БАГ,] ты найдешь угол БГА, ибо этот угол - комплиментарный до 90 градусов, так как углы БАГ и БГА вместе составляют 90 градусов.
Теорема.] Если известны [все] стороны любого треугольника, то можно определить его углы.
[Доказательство.] Пусть стороны треугольника АБГ известны. Я утверждаю, что можно определить его углы. Проведем перпендикуляр БД из точки В к прямой АГ. В первой фигуре точка Д окажется внутри треугольника, а во второй фигуре она будет за пределами треугольника. Я утверждаю, что возможно определить величину линии ГД. Ведь если мы вычислим разницу суммы квадратов линий ГБ и ГА и квадрата лини АБ в первой фигуре, или разницу квадрата линии АБ и суммы квадратов линий ГБ и ГА во второй фигуре, и разделим ее на удвоенную линию ГА, результат будет равным линии ГД. Это легко понять из Второй книги Евклида. Итак, найдена величина линии ГД. А поскольку квадрат [теперь] известной нами линии ГБ превосходит квадрат линии БД [на величину квадрата линии ГД], - найдена величина линии БД. Поэтому, как мы показали выше, можно найти углы прямоугольного треугольника БДГ. Таким образом, в первой фигуре можно определить угол БГА и одну часть угла ГБА, а именно, угол ГБД, а во второй фигуре можно узнать угол БГА через известный угол БГД, являющийся его комплиментарным углом в двух прямых углах [,т.е. в 180 градусах]; и также можно найти угол ГБД. Более того, поскольку линии АГ и ГД известны, можно также определить величину линии АД. Из сказанного следует, что у прямоугольного треугольника БДА, чьи стороны известны, известны также [также] углы, и, следовательно, угол БАД известен в обеих фигурах. Можно узнать оставшийся в треугольнике угол ГБА, поскольку угол ГБД известен и угол ДБА известен. Из этого легко понять, что угол ГБА известен в обеих этих фигурах. Таким образом, ясно, в треугольнике АБГ, чьи стороны известны, известны также и углы. Это мы и намеревались доказать.
[Теорема.] Если известны две линии и один угол любого треугольника, и одна из известных сторон прилежит к этому углу, то можно определить оставшиеся углы и третью сторону.
Пусть известны две стороны треугольника АБГ - АБ и БГ, а также известен угол БАГ. Я утверждаю, что возможно определить сторону АГ и оставшиеся углы. Опишем окружность БАГ вокруг треугольника БАГ, и примем, что диаметром этой окружности является линия АГ. Поскольку угол БАГ известен и он вписан в окружность, в которой два прямых угла являются частью 360, мы можем определить дугу БГ. Величину хорды этой дуги можно узнать из таблицы дуг и синусов в той величине, где линия АД равна 120, и, таким образом, будет известно отношение линии БГ к линии АД. А поскольку отношение линии АГ к линии АБ также известно, известно и отношение линии АБ к линии АД. Следовательно, известна линия АБ, когда линия АД равна 12 градусам, а на основании этого можно определить дугу АБ в таблице дуг и хорд. Поскольку обе дуги - БГ и АБ - известны, можно узнать оставшуюся дугу, то есть дугу ГА, а через нее установить угол ГБА и линию ГА описанным ранее способом. Таким образом, ясно, что в треугольнике АБГ известны его стороны и углы, что мы и хотели доказать.
Из приведённого доказательства тебе должно быть понятно, что если принять диаметра круга равным 60 градусам, а окружность - 180 градусам, не будет необходимости вычислять хорды этих дуг с помощью таблицы дуг и хорд, поскольку [для этой цели] достаточно [таблицы дуг и] синусов, так как [в данном случае] синус - это полухорда удвоенной дуги. Синус любой дуги относится к половине диаметра окружности так же, как хорда удвоенной дуги к диаметру окружности. В настоящем доказательстве ради краткости мы воспользовались второй возможностью. Мы упомянули это здесь, дабы тебя не смутили строящиеся на этом последующие доказательства. Из настоящей теоремы [תמונה] с очевидностью следует, что стороны любого треугольника с прямыми сторонами [,т.е. прямоугольного треугольника ??,] относятся друг к дугу так же, как относятся друг к другу синусы противолежащих им углов. Из сказанного легко понять, что если углы треугольника с прямыми сторонами известны, а также известна величина одной из этих сторон, то можно определить величины остальных сторон, так как мы знаем их отношение к известной стороне.
[Теорема.] Если известны две стороны любого треугольника, а также известен угол, к которому прилежат эти известные стороны, то можно определить оставшиеся углы и стороны.
[Доказательство.] Пусть имеется треугольник АБГ, две стороны которого - АБ и БГ - известны, и также известен угол АБГ. Я утверждаю, что можно определить также сторону АГ и оставшиеся углы. Если угол АБГ прямой, то это очевидно из сказанного выше. А если этот угол будет острым, как в первой фигуре, или тупым, как во второй фигуре, то можно определить сторону АГ следующим образом. Проведем из точки А линию АД, перпендикулярную линии БГ, которую мы сочтём бесконечной. В любом случае очевидно, что угол АБД известен, поскольку известен либо угол АБГ, либо комплиментарный ему угол в двух прямых углах [,т.е. в 180 градусах]. Остается угол ДАБ, который также известен, поскольку он является комплиментарным в прямом углу. Таким образом, величины всех углов и одной стороны треугольника АБД известны. Также оставшиеся стороны могут быть определены. Две стороны АД и ДГ также известны в обеих фигурах. Известна величина стороны АГ в прямоугольном треугольнике АДГ, и поэтому известны углы треугольника АДГ, и, следовательно, известен угол АГД. Угол АБГ, в соответствие с условием, известен, поэтому можно определить оставшийся в треугольнике угол БАГ, так как он является комплиментарным в двух прямых углах. Это мы и намеревались доказать.

Глава пятая


Если луч солнца[8], луны либо любой светоносной звезды или планеты проходит сквозь окно, его [отражение] оказывается во всех направлениях шире отверстия на величину углового полудиаметра светила в месте, где находится окно [,т.е. в том месте, где находится наблюдатель]. Здесь мы принимаем это основоположение без доказательства [השורש המונח], но в дальнейшем докажем, что если бы светило было лишь точкой, исходящий от него луч не стал бы ощутимо шире, пройдя расстояние от окна до стены, воспринимающей этот луч . Поскольку расстояния от небесных тел до земли огромно, мы не воспринимаем это [расширение луча] вследствие малости этого расстояния [от окна до стены]. На самом деле, даже полудиаметр земли не существенен при [наблюдении] звезд[9] из-за величины расстояния от них до нас. И уж тем более [это не ощутимо] при столь малом расстоянии: ведь это [расширение луча света] скрыто от восприятия даже в случае луны, которая к нам ближе всего. Все это мы, с Божьей помощью, полностью рассмотрим в дальнейшем.
[Теперь] мы приведем доказательство сказанному нами в начале [этой главы]. Начертим линию АБ на стене с окном; точка Е будет вершиной окна. Проведем линию ГД на стене, противоположной этой [стене с окном], на которую попадает луч, в том месте, куда должен упасть луч. Центром круга светила будет точка Х, а диаметром светила, параллельным линии АБ, будет линия ЗХТ. Линия, соединяющая центр светила и точку Е, пересекает ГД в точке Л - это прямая линия ХЕЛ. Из сказанного ясно, что луч должен упасть на точку Л, если светило является точкой. Однако, поскольку все части светила испускают свет, луч исходит [также] из точки Т на диаметре светила и проходя по прямой через точку Е достигает линии ГД в точке М. А так как линии ХЕЛ и ТЕМ пересекаются, угол МЕЛ равен углу ХЕТ, а эти углы являются угловым радиусом светила в том месте, где находится окно. Это же можно доказать для всех сторон окна, так как светило испускает свет из всех концов отмеченных на нем диаметров, на той его стороне, которая обращена к окну. Это мы и намеревались доказать.
Эта фигура показывает, что когда луч проходит через прямоугольное окно, он [,т.е. отражение, образованное лучем,] не будет прямоугольным, ибо он расширяется по всем сторонам углов на величину углового полудиаметра светила. Угол подобен четверти круга, чей центра - точка угла. Так обстоит дело, когда мы наблюдаем солнечные и лунные лучи, проходящие через прямоугольные окна. Ведь нет ощутимого различия между видимым размером солнца [, наблюдаемым] из точки окна, и тем его размером, который можно было бы воспринять из центра земли, по причине малости полудиаметра земли по отношению к огромному расстоянию между ней и солнцем (это мы, с Божьей помощью, докажем в дальнейшем). Благодаря этому мы определим величину солнечного диаметра на большом круге его вращения в момент наблюдения. Этот раздел [שער] [нашей книги] поможет нам достигнуть цели нашего исследования: таким способом мы сможем определить, сдвинута сфера солнце по отношению к центру земли или нет. Благодаря этому мы также определим величину эксцентричности [Солнца], если окажется, что оно сдвинуто по отношению к центру мира.
Из этой фигуры тебе должно быть понятно, что с ее помощью в момент затмения возможно определить величину скрытых затмением частей [? אצבעות] [светила]. Это в наибольшей степени очевидно, когда окно чрезвычайно мало. В таком случае отражение на воспринимающей луч стене по форме будет подобно луне, в соответствие с величиной затмения. Если ты вычтешь величину окна из диаметров наибольшего и наименьшего из лучей, ты найдешь, что остаток является отношением затемнённой части светила к его телу, ибо это отношение равно разнице наибольшего диаметра и наименьшего диаметра, или отношению наименьшего диаметра к наибольшему диаметру. Благодаря этому также можно показать, что когда затемнена одна сторона светила, луч [,т.е. отражение, создаваемое лучом,] окажется ущербным с противоположной стороны. Ведь, как ясно из нашего объяснения этой фигуры, верхняя часть светила будет в нижней части [отражения] луча на стене. Из сказанного следует, что в каждая его [,т.е. светила,] часть оказывается в противоположной части отражения. Это с необходимостью вытекает из наших слов.




 

Глава шестая



[В этой главе мы рассмотрим], как пользоваться этим инструментом, созданным нами для наиболее точных наблюдений. Но прежде мы должны определить, в какой части глаза располагается зрение, то есть где завершается угол [, которому противолежит] наблюдаемый предмет [,т.е. где находится вершина этого угла]. Нам следует сейчас рассмотреть это.
Мы утверждаем, что он [,т.е. центр зрения,] может быть либо в центре глаза, либо на периферии глаза [מקיף העין] - на внешней периферии или на внутренней периферии, или между двумя этими перифериями. Возможны только эти альтернативы, поскольку глаз, очевидно, является особым органом зрения.
Легко понять, что эти [центром зрения] не может быть внешняя поверхность [глаза], ибо науками о природе было доказано, что наблюдаемый предмет достигает зрения посредством прозрачного воздуха. Последний является посредником, воспринимающим его [,т.е. наблюдаемого предмета,] образ, и передающим его зрению. Если бы центр зрения располагался на поверхности внешней поверхности глаза, то зрительная способность не могла бы воспринимать видимые предметы, ибо видимые предметы достигали бы ее в качестве точки, а в точке невозможно воспринять ни образ, ни величину, ни фигуру. Однако же, зрение воспринимает и образ, и величину, и фигуру. Поэтому ясно, что центр зрения не располагается на поверхности внешней периферии глаза. Более того, из опыта известно, что образ, воспринимаемый зрачком, подобен образу фигуры, [отраженной] в отполированном зеркале. Поэтому, по-видимому, если глаз не находится в состоянии подходящем для восприятия образа, он ничего не увидит. Из этого, вне всякого сомнения, следует, что центр зрения находится внутри глаза, а не на его внешней поверхности.
То, что центр зрения не находится на внешней периферии глаза, доказывает также искусство врачевания: причиной потери зрения может служить наличие жидкость в глазу - вокруг этой жидкости на глазном хрусталике образуется карман. Когда они [,т.е. врачи,] сдвигают этот карман всторону, и он перестает закрывать хрусталик, зрение, как утверждает искусство врачевания, возвращается. Итак, хотя образы и отпечатываются на таком [,т.е. пораженном такой болезнью глазу,] он не воспринимает видимые предметы, поскольку существует экран, не позволяющий образу достичь того места, где располагается зрение. Из этого следует, что центр зрения находится внутри периферии хрусталика [במה שבפנים המקיף הלחות הכפורית]. Если бы [центр зрения] находился на внешней периферии, то по этой причине [,т.е. из-за наличия в глазу жидкости,] нельзя было бы утратить зрение, ибо, как мы показали выше, это место [,т.е. место, где располагается глазной хрусталик,] в соответствие с данным предположением, не участвует в восприятии наблюдаемого. Итак, представляется, что зрение находится в хрусталике, и в его центре расположен центр зрения. Таким образом, та жидкость передает полученный ею с внутренней поверхности хрусталика образ наблюдаемого [предмета] внутрь головы [,т.е. мозга,] где, как утверждают естественные науки, располагается общее чувство.
Возможно привести математическое доказательство [нашего предположения] о местоположении центра зрения. Для этого мы прибегнем к помощи созданного нами инструмента для наблюдений в любое время, [устройство и действие] которого мы, с Божьей помощью, разъясним в дальнейшем. Здесь же мы расскажем о нем лишь необходимое для прояснения рассматриваемого нами вопроса [о местоположении центра зрения]. Итак, он состоит из посоха с прямыми поверхностями. Центр одного из его концов мы располагаем у глаза. Имеются также пластины с плоскими поверхностями, посредине которых находятся отверстия. Мы вставляем посох в эти отверстия таким образом, что они возвышаются над посохом немного меньше, чем [угол] зрения [Буквально: "чем высота зрения над ней".] Поместим на нем [,т.е. на посохе,] две пластины, одна из которых в два раза превосходит другую, либо находится в любом другом отношении к ней. Будем приближать меньшую пластину к глазу [הראות], пока она не скроет большую - [и будет] ни больше ее, ни меньше ее. Проделав это большой точностью, мы сможем с лёгкостью определить местоположение точки, которая образует угол наблюдения. Ведь эти пластины параллельны [друг другу] и расположены под прямым углом к посоху, а параллельные линии делят стороны треугольника пропорционально. Поскольку же расстояния между этими пластинами известно, а также известно отношение их [величин], можно определить местоположение точки зрения. Ведь отношение линии, которая выходит из нее и достигает меньшей пластины, к линии, которая выходит из нее и достигает большой пластины, равно отношению меньшей пластины к большой пластине.
Когда мы изменяем, разделяем и обращаем [отношение большой пластины к малой], оказывается, что отношение малой пластины к линии идущей к ней из центра зрения равно отношению величины, на которую большая пластина превосходит малую, к величине, на которую ее [,т.е. большой пластины,] расстояние от центра зрения превосходит расстояние малой пластины от центра зрения. Поскольку второе отношение известно из опыта, с его помощью можно определить отношение малой пластины к ее расстоянию от центра зрения. А поскольку известна величина малой пластины, известно и ее расстояние от центра зрения.
Приведем пример. Пусть по длине всей поверхности какой-либо из сторон посоха будет проведена линия АБ, вдоль которой движется взгляд. Параллельные пластины пересекающие линию АБ - это линии ГД и ЕЗ, где линия ГД превосходит линию ЕЗ, и линия ЕЗ ближе к глазу. Они расположены так, как было описано выше: [малая пластина] скрывает большую пластину. [При этом малая пластина, т.е. линия ЕЗ] пересекает линию АБ в точке Т, а линия ГД пересекает линию АБ в точке Х. Поскольку, как мы видим, две линии ГД и ЕЗ противолежат прямыми лучами одному и тому же углу, то, если продлить линии ГЕ и ДЗ, они, очевидно, пересекутся в вершине угла зрения, то есть встретятся, [в данном] примере, в точке Л. Соединим точки А и Л прямой линией. Очевидно, линия БАЛ - это одна прямая линия, ибо, в соответствие с условием, центр глаза находится на прямой линии БА. Более того, линия ГХ равна линии ХД, а линия ЕТ равна линии ТЗ, линия ХТ является общей, угол ДХТ равен углу ГХТ, и угол ХТЗ равен углу ХТЕ. Из этого следует, что если мы наложим фигуру ДТ на фигуру ГТ, они в точности совпадут, ибо точка Д совпадет с точкой Г, а точка З с точкой Е. Поэтому угол ХДЗ равен углу ХГЕ. Поскольку два угла у основания [תושבת] треугольника ЛГД равны, треугольник ЛГД, очевидно равнобедренный [שוה שוקיים]. Таким образом, линия, соединяющая точку Л и середину основания [треугольника], то есть точку Х, пересекает линию ГД под прямым углом. Также линия ХА пересекает линию ГД под прямым углом, а из этого следует, что линия ХА лежит на той же прямой, что и линия ХЛ. И поскольку треугольник ГДЛ содержит линию ЕЗ, параллельную основанию ГД, линия ЕЛ относится к линии ГЛ так же, как линия ЕЗ к линии ГД. Из этого следует, что линия ЕТ относится к линии ГХ так же, как линия ЛТ к линии ЛХ. Изменяя и разделяя, мы приходим к выводу, что линия ЕТ относится к линии ЛТ так же, как разница линии ГХ и линии ХТ к разнице линии ЛХ и линии ЛТ (эта разница является линией ХТ). Однако, разница линии ГХ и линии ЕТ известна, так же как известны и величины линий ХТ и ЕТ. Остается [неизвестной] величина линии ЛД, которую можно найти, поскольку известно ее отношение к линии ЕТ, которая известна. Используя [наш инструмент] при проведении разнообразных исследований, мы обнаружили, что в данном примере точка Л находится в центре глаза, то есть в центре глазного хрусталика. Тем не менее, мы все же должны были провести это исследование [,т.е. привести это доказательство], поскольку без него мы не сможем безошибочно установить величину угла зрения, когда мы наблюдаем с помощью этого инструмента две звезды или планеты и хотим определить протяжённость дуги между ними. Ведь если мы решим, что эта точка располагается где-то между точками Л и Т, то вычисленное нами расстояние будет превосходить действительное, ибо угол, то есть угол зрения, в этом случае будет большим. Обратная ситуация возникнет, если мы расположим эту точку за пределами линии ТЛ, ибо в таком случае вычисленное нами расстояние будет меньшим, чем оно есть на самом деле, поскольку тогда угол окажется меньшим.

Глава седьмая

Мы привели необходимые разъяснения в отношении инструмента, созданного нами для проведения в любое время наиболее точных наблюдении. [В этой главе], мы, сначала, опишем, способ создания этого инструмента, а затем расскажем о том, как им пользоваться.
Итак, этот инструмент изготавливается следующим образом. Возьмём прямой посох длиной около шести пядей[10] и выровняем [одну] его поверхность. Ширина этой поверхности ее будет около перста[11] по всей длине посоха. На одном из концов посоха установим малую пластину, из которой на расстоянии чуть более перста друг от друга выступают два колышка, один из которых мы помещаем у ближнего к носу угла того глаза, которым мы наблюдаем, а второй - у ближнего к носу угла другого глаза. [Мы располагаем их] так, так чтоб они не препятствовали зрению. Когда инструмент расположен таким образом, центр зрения у большинства людей будет удалён на 1/12 пяди от той поверхности, которая касается поверхности, находящейся рядом с глазом. Это как нам удалось установить благодаря многотрудным [исследованиям]. Разделим посох на сегменты [מעלות], так чтоб в одной пяди содержалось 8 сегментов и обозначим их по длине[12] прямой [стороны] посоха от одного конца до другого. Сегменты посоха начинаются от центра зрения, удаленного от посоха примерно на 1/20 пяди. Поэтому первый, ближайший к глазу, сегмент будет равен остальным сегмент, если прибавить к нему 1/20 пяди. Обозначим их там указанным образом. Далее, разделим каждый сегмент на 6 равны частей [חלקים] с одной стороны, а и на 12 равных частей с другой. Затем соединим диагональю начало линии сегмента и конец первой из тех частей, что делят сегмент на 12 равных отрезков. Проведем еще одну диагональ от начало упомянутой нами части к концу первой из тех частей, что делят сегмент на 6 равных отрезков, а от конца этой части - к концу третьей из тех частей, что делят сегмент на 12, и от конца этой третьей части - к концу второй части, из тех что делят сегмент на 6, и от конца этой второй части - к концу пятой из тех частей, что делят сегмент на 12, и так далее для всех сегментов посоха, пока не будет завершено деление всех сегментов посоха. Таким образом, каждая из эти диагональных линий ограничивает 1/12 сегмента, равных 5 минутам. Ты сможешь также приблизительно рассчитать его дробную часть, ибо если это пятая часть - она равна 1 минуте, четвертая - 1 минуте и 15 секундам, третья - 1 минуте и 40 секундам, вторая - 2 минутам и 30 секундам. Таким способом ты сможешь определить с большой точностью минуты и секунды круга. Если мы поделим этот посох, разделённый в длину на сегменты, на 5 частей по ширине, до все диагонали окажутся разделены на 5 равных частей, и каждая часть из них охватит одну минуту градуса [? сегмента - מעלה] посоха.
Далее, сделаем несколько пластин. Посредине каждой из них расположено круглое отверстие, сквозь которое может [лишь] с усилием пройти посох, и мы [при этом] будем в состоянии вращать вокруг него пластины в любом желаемом направлении. Одна пластина должна быть равна 24 сегментам посоха, а ее верхняя сторона должна возвышаться над посохом на ту же высоту, что центр зрения возвышается над посохом. Указанным способом [должны быть сделаны] пластины [размером] 16, 8, 4 и 2 сегмента, чья ширина будет 1 сегмент с одной стороны, и половина (или четверть сегмента, или даже меньше) - с другой стороны, дабы мы смогли наблюдать с их помощью звезды или планеты близкие по долготе и широте. Все эти пластины должны обладать прямыми и перпендикулярными друг другу поверхности.
Если с помощью этого инструмента мы хотим установить, каково расстояние между двумя звездами или планетами, возьмём ту из упомянутых пластин, которая более всего походит для нахождения этого расстояния, я имею в виду, что если расстоянии превышает 25 градусов, мы возьмём наибольшую пластину. Мы всегда должны стараться поместить пластину как можно ближе к концу посоха. Пропустим посох сквозь пластину таким образом, чтоб он оказался к ней под прямым углом, и поместим колышки, которые расположены у вершины посоха у ближнего к носу углу того глаза, которым мы наблюдаем. Второй глаз закроем, дабы наблюдение не было искажено. Приблизим эти колышки к глазу насколько это возможно. Будем приближать и отдалять пластину по отношению к глазу пока не увидим над вершиной пластины с одной ее стороны - одну звезду, а с другой стороны - другую звезду, таким образом, чтоб обе наблюдаемые звезды касались двух концов этой пластины. Такое наблюдение возможно лишь если хорошо видны концы пластины; поэтому мы расположим позади себя свечу так, чтобы она освещала поверхность пластины, и при этом ее свет не препятствовал наблюдению звезд. Завершив это [наблюдение] запишем, с помощью какой пластины проводилось наблюдение и отметим, в скольких градусах [? מעלות], минутах и частях минут посоха оказалась пластина в момент наблюдения. Мы называем это расстоянием [מרחק]. Например, пусть наблюдение этих звезд проводилось в некий момент времени с использованием пластины в десять сегментов на сорока сегментах [? градусах - מעלות] расстояния. Когда ты из этого наблюдения захочешь узнать, каково расстояние от одной из этих звезд до другой в градусах проходящего через них большого круга, прибавь квадрат расстояния к квадрату половины пластины, и найди квадратный корень этой суммы. Результат будет скорректированным [מתוקן] полудиаметром. Умножив сегменты [מעלות] пластины на 60 градусов [מעלות] и разделив результат на скорректированный радиус, ты получишь "скорректированную хорду" - этим названием мы пользуемся в связи с нашим инструментом. Найди полную дугу в таблице дуг и хорд, она и будет расстоянием между двумя звездами на большом круге, проходящем через них.
Если обе эти звезды расположены на эклиптике [בעצם האזור גלגל המזלות], эта дуга будет расстоянием между ними в эклиптической долготе[13], а если они обе находятся на той же самой эклиптической долготе, то эта дуга будет дугой расстояния между этими двумя звездами по широте. Если же [только] одна из них находится на эклиптике, то упомянутая широта будет широтой другой звезды от эклиптики с соответствующей стороны, то есть если звезда будет к северу от эклиптики[14], то эта широта будет северной, а если к югу - то южной. Если известна широта одной из этих звезд и обе они расположены на той же самой эклиптической долготе, то упомянутая дуга будет [величиной], на которую широта одной звезды превосходит широту другой. Если обе они находятся с одной стороны, то есть, если широта одной звезды известна, а другая звезда располагается с той же самой стороны [от эклиптики], что и первая, тогда [сложи обе широты], и ты получишь искомую широту второй звезды; если же они находятся с различных сторон от эклиптики, то отними большую широту от меньшей, и остаток будет широтой звезды, чья широта, в отличие от большей широты [другой звезды], была неизвестна.
Если у них разная эклиптическая долгота, и одна из них, или обе, обладают некоторой широтой, то, как я покажу тебе, если известна [их] широта, можно узнать и расстоянием между ними в эклиптической долготе. Прежде, чем преступить к доказательству, мы хотим выдвинуть следующее положение: у звезды синус дуги широты перпендикулярен плоскости эклиптики, если этот синус начинается том месте, где находится звезда.
Доказательство. Пусть плоскостью эклиптики будет плоскость круга АБГД, центром которого является точка Е. Очевидно, что плоскость круга широты проходит через полюса этого круга. Дуга ГД будет частью круга широты; ее синус - прямая линия ЗХ - начинается в точке З. Проведем линию ЕХД, которая, очевидно, является единой линией, поскольку линия, идущая из центра к половине хорды, делит дугу пополам. Пусть дуга ДЗТ будет квадрантом; тогда точка Т будет полюсом круга АБГД. [39] Проведем линию ТЕ; очевидно, линия ТЕ перпендикулярна плоскости АБГД, поскольку круг ДЗТ проходит через полюса АБГД. Мы утверждаем, что линия ЗХ параллельна линии ТЕ, поскольку угол ЗХЕ прямой, ибо линия ЕХ выходит из центра круга и делит пополам удвоенную дугу ЗД; угол ТЕХ также прямой, так как линия ТЕ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Из сказанного ясно, что он перпендикулярен любой линий, начинающейся в точке Е на плоскости круга АБГД, выключая линию ЕД. Поскольку линия ЗХ также перпендикулярна линии ЕД, и поскольку линии ЗХ и ЕТ лежат на одной и той же плоскости круга ДЗТ, мы приходим к выводу, что две линии ЗХ и ЕТ параллельны. Поскольку линя ЕТ перпендикулярна плоскости круга АБГД, параллельная ей линия ЗХ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Подобным образом можно показать, что все синусы дуг эклиптической широты перпендикулярны плоскости круга АБГД и параллельны друг другу, так как все они параллельны линии ЕТ.
Приняв во внимание это [положение], мы хотим показать, каким образом возможно определить расстояние между двумя звездами в эклиптической долготе, если известна широта каждой из них. Это можно осуществить следующим образом. Если только одна звезда обладает широтой, отними квадрат синуса дуги широты от квадрата скорректированной хорды, а из полученной разницы извлеки квадратный корень. Результат будет "второй хордой" - такое название мы используем в настоящей главе. Таким образом, перед тобой треугольник, все три стороны которого известны: одна сторона - это радиус, вторая - это вторая хорда , а основание - это остаток вычитания синуса дуги широты звезды из 60 градусов. Таким образом, можно найти перпендикуляр, идущий от вершины треугольника к основанию, - он будет синусом дуги расстояния. Найди соответствующую ему дугу, и ты найдешь то, что искал.
Приведем пример. Пусть плоскость круга эклиптики проходит через центр Е круга АБГД. Точка А - это местоположение звезды, которая не обладает широтой, а точка Б - это некая эклиптическая долгота другой звезды. Вторая звезда, однако, обладает некоей широтой, каковой явятся дуга БЗ, а звезда находится в точке З. Проведем линии ЕА и ЕБ, а также перпендикуляр ЗХ из точки З к линии БЕ. Линия ЗХ является синусом дуги БЗ, а линия ХБ - ее версинусом, который также известен. Таким образом, оказывается известна величина линии ХЕ, ибо она является комплиментарной частью полудиаметра. Проведем линию АЗ, которая будет скорректированной хордой расстояния между этими звездами, а также начертим линию АХ. Из сказанного ранее ясно, что угол АХЗ прямой, поскольку линия ЗХ перпендикулярна плоскости круга АБГД. Поэтому линия АЗ является квадратным корнем суммы квадратов АХ и ЗХ. Когда мы отнимем от квадрата известной нам лини АЗ квадрат также известной нам линии ЗХ, остаток будет равен квадрату линии АХ. Таким образом, мы определили [величину] линии АХ, служащей второй хордой. Поскольку все стороны треугольника АХЕ известны, можно на основании уже сказанного определить [величину] выходящего из точки Е перпендикуляра АТ к линии ЕХ. Итак, величина линии АТ известна, и эта линия есть синус дуги расстояния между двумя звездами; с его помощью ты найдешь дугу расстояния, которую ты искал. Это можно показать еще одним способом: углы треугольника АХЕ известны, поскольку все стороны этого треугольника известны. Благодаря этому можно найти угол АЕХ, охватывающий [מגבלת] дугу расстояния между этими двумя звездами.
[Рассмотрим случай,] когда обе звезды обладают широтой. Если обе они находятся по разные стороны от эклиптики, то сложи синусы их дуг широты и сохрани эту сумму; если же их широта с одной и той же стороны от эклиптики, найди разницу между двумя синусами и сохрани ее. Вычти квадрат суммы или разницы из квадрата скорректированной хорды, и найди квадратный корень остатка, который и будет второй хордой. Таким образом, перед тобой будет треугольник с тремя известными сторонами: первая сторона - это вторая хорда, в две оставшиеся стороны - это остатки полудуг широты звезд, после того как мы их вычли из 60. Таким образом, будет найден угол, охватывающий [מגבלת] дугу расстояния между двумя этими звездами по долготе эклиптики.
Ты можешь пойти другим путем, определив величину перпендикуляра от вершины треугольника к его основанию. Пусть основанием треугольника будет одна из линий, идущих из центра круга эклиптики к месту, где оказывается синус дуги широты одной из звезд. Найди величину этого перпендикуляра, умножь ее на 60 и раздели на [величину] линии, соединяющую центр круга эклиптики и место, куда падает синус дуги широты второй звезды, который не был определен в качестве основания треугольника; результатом будет синус дуги расстояния между двумя звездами, с помощью которого ты найдешь [соответствующую ему] дугу расстояния. Если обе широты находятся с одной стороны [от эклиптики], а также равны, то скорректированная хорда будет второй хордой. Продолжай описанным ранее образом, чтобы найти синус дуги расстояния между двумя звездами. Если ты умножишь вторую хорду на шестьдесят и разделишь результат на остаток, полученный при [вычитании] версинуса из 60, ты получишь хорду дуги расстояния; найди ее полную дугу, и ты получишь то, что искал.
Приведем примеры для каждого из этих способов. Пусть плоскостью круга эклиптики будет круг АБ с центром в точке Г; дуга расстояния по долготе между этими двумя звездам - это дуга АБ. Дугой широты одной звезды будет дуга АД, а дугой широты другой звезды - дуга БЕ; дуга АД расположена к северу [от эклиптики], а дуга БЕ - югу. Линия ДЕ - это скорректированная хорда.

 

Проведем линии АГ и ГБ; линия ДЗ будет синусом дуги АД, а линия ЕХ - синусом дуги БЕ. Эти линии известны, поскольку известны дуги широты. Из сказанного ясно, что известны и версинусы этих дуг - это линии АЗ и БХ. Остаются линии ГЗ и ГХ, которые также известны, ибо они дополняют до 60 градусов каждый из известных версинусов. Проведем линию ЖЕ, являющуюся второй хордой, и продлим линию ДЗ к югу на величину линии ХЕ - это будет линия ЗТ. Линия ДЗТ параллельна линии ХЕ, и поэтому линия ЗТ параллельна и равна линии ХЕ. Проведем линию ТЕ. Очевидно, что обе линии - ЗХ и ТЕ - параллельны и равны, поскольку они расположены между двумя параллельными и равными линиями ТЗ и ХЕ. Угол ДЗХ прямой, так как линия ДЗ перпендикулярна плоскости круга АБГД. По этой же причине угол ДТЕ прямой, ибо линия ТЕ параллельна линии ЗХ. Из сказанного ясно, что если вычесть квадрат линии ДТ из квадрата линии ДЕ, являющейся скорректированной хордой, то квадратный корень полученной разницы будет равен линии ТЕ, и, таким образом, будет найдена величина линии ТЕ. Благодаря этому можно будет установить величину линии ЗХ, которая является второй хордой, поскольку она равна линии ТЕ.

Если широты располагаются с одной и той же стороны эклиптики и не равны друг другу, то можно воспользоваться приведённым выше способом для нахождения второй хорды. Для этой цели мы рассмотрим ту же самую фигуру, с той разницей, что две линии ЗД и ХЕ мы расположим с одной стороны, проведем линю ЗХ, которая является второй хордой, и примем, что линия ЗД больше линии ХЕ. Отметим на ней линю ЗТ, равную линии ХЕ, и проведем линию ТЕ. Поскольку две линии ЗТ и ХЕ параллельны и равны, две линии ЗХ и ТЕ также параллельны и равны. Приведённым выше способом можно показать, что угол ДТЕ прямой, а из этого следует, что если вычесть из квадрата скорректированной хорды - линии ДЕ - квадрат линии ТД, то квадратный корень остатка будет равен линии ТЕ, которая в свою очередь равна линии ТХ, служащей второй хордой. Из сказанного следует, что если [обе звезды] обладают равной долготой с одной и той же стороны [от эклиптики], то скорректированная хорда равна второй хорде. Поскольку была найдена вторая хорда - линия ЗХ, и нам известны линии ХГ и ЗГ, можно найти все углы треугольника ХГЗ и, в частности, угол ХГБ, ограничивающий дугу расстояния между двумя этими звездами.

Для этого существует еще один, следующий, способ. Поскольку все стороны треугольника ГДЗ известны, можно найти величину перпендикуляра ХЛ, идущего из точки Х к линии АГ. Проведем [перпендикуляр] БМ из точки Б к линии АГ, параллельный линии ХЛ. Очевидно, линия БМ параллельна дуге расстояния между этими двумя звездами. Также ясно, что отношение линии ГХ к ХЛ равно отношению линии ГБ к линии БМ, поскольку треугольники ХГЛ и БГМ подобны. Из сказанного следует, что произведение [שטח] второго и третьего равно произведению первого и четвертого. Значит, если мы умножим линию ХЛ на линию БГ, и разделим результат на линию ХГ, частное будет равно линии БМ, которая является синусом дуги расстояния между двумя этими звездами.

Если долгота [этих звезд] равна, и она с одной и той же стороны [от эклиптики], то из этого, очевидно, следует, что скорректированная хорда равна второй хорде, и, значит, можно найти линию ХЗ, являющуюся второй хордой. Проведем линию АБ. Поскольку линия АЗ равна линии ХБ, а линия АГ равна линии ГБ, линии, АГ и ГБ разделены ЗХ в одинаковой пропорции. Таким образом, линии АБ и ЗХ параллельны, а треугольники ЗГХ и АГБ подобны, и поэтому отношение линии ЗГ к линии ЗХ будет равно отношению линии АГ к линии АБ. Из предшествующего способа [доказательства] ясно, что если разделить произведение линии ЗХ и линии АГ на линию ЗГ, то результат будет равен линии АБ, то есть полной дуге расстояния долготы между этими звездами.
Ты можешь с легкостью - с приемлемым в наблюдениях отклонением [בקרוב בלתי מזיק במבטים] - определить [величину] полной дуги расстояния, когда одна из звезд, или обе, обладают широтой, и их широты, будь то с одной стороны [от эклиптики] или с разных, неравны. Найди вторую хорду описанным выше способом, а затем вычти из ее квадрата квадрат разницы большего версинуса и меньшего. Взяв квадратный корень полученного результата, ты получишь скорректированную вторую хорду для случая, когда широты [этих звезд] равны. Прибавь половину разницы большего версинуса и меньшего к остатку, полученному при вычитании большего версинуса из 60 градусов, если обе они обладают широтой, и полученный результат [הנשאר] будет остатком скорректированного версинуса. Но если широтой обладает только одна [звезда], прибавь половину версинуса [дуги той звезды, ] которая обладает широтой, к остатку, полученному при вычитании версинуса из 60 градусов, и результат будет остатком скорректированного версинуса. Умножь скорректированную вторую хорду на 60 градусов, а затем раздели на остаток скорректированного версинуса; в результате деления ты получишь приблизительное [значение] полной хорды дуги расстояния, а через него ты найдешь приблизительное [значение] дуги расстояния.
Приведем доказательство сказанному. Пусть дугой расстояния в этой фигуре будет дуга АБ с центром Г; проведем линии АГ и ГБ. Приведённым выше способом найдем вторую хорду и, таким образом, придём к истинной [величине хорды] с приемлемым для наблюдений отклонением. Это станет ясно из следующего. Проведем из двух концов второй хорды в треугольнике АГБ линии параллельные хорде дуги расстояния, то есть линии АБ, а также проведем перпендикуляр от одной из этих линий к другой. Когда мы отнимем от квадрата второй хорды квадрат перпендикуляра и извлечем квадратный корень из полученной разницы, результат будет равен параллельной линии, проходящей через точку, отмечающую половину той части, на которую больший версинус превосходит меньший. Доказательство. Пусть в этой фигуре второй хордой будет линия ЗХ. Линия АЗ короче линии БХ. Проведем из двух концов линии ЗХ в треугольнике АГБ линии ЗД и ХЕ параллельные линии АБ; линия ЗХ будет разницей линий БХ и АЗ. Разделим линию ЗЕ пополам в точке Т, и проведем из точки Т в треугольнике АГБ линию ТЛ, параллельную линии АБ. Из точки З проведем перпендикуляр ЗМ к линии ХЕ, продолженной по мере необходимости до тех пор, пока не образуется прямая линия ХЕМ. Проведем линию ТМ, которая, очевидно, равна линии ТЕ, поскольку треугольник ЗМЕ прямоугольный, а линия ЗЕ - это диаметр его окружности [,т.е. гипотенуза]. [Линия ЗЕ] разделена пополам в точке Т, и поэтому точка Е служит центром окружности, описанной вокруг треугольника ЗМЕ. Из сказанного следует, что линия ТМ равна линии ТЕ, и, значит, угол ТМЕ равен углу ТЕМ. Поскольку треугольник ЕГХ равнобедренный, углы ТЕХ и ЕХЛ равны. А так как два угла - ТЕХ и ТЕМ равны двум прямым углам, углы ТМЕ и ЕХЛ также равны двум прямым углам. Поскольку линии МТ и ХЛ перпендикулярны линии МХ, и образованные [пересечением этих линий] внутренние углы равны двум прямым углам, линии ТМ и ХЛ параллельны. А так как расположенные между ними линии МХ и ТЛ также параллельные, они также и равны. Очевидным образом, когда мы вычтем из квадрата линии ЗХ квадрат линии ЗМ, квадратный корень остатка будет равен линии МХ. Из этого [следует], что квадратный корень остатка [также] равен линии ТЛ, которая равна линии МХ, как мы уже разъяснили. Из сказанного ясно, что если мы, как уже было сказано, отнимем от квадрата линии ЗХ квадрат линии ЗМ, то квадратный корень остатка будет равен линии ТЛ. Следует отметить, что мы использовали линию ЗЕ вместо линии ЗМ, а это приводит к некоторому отклонению. Однако, такое отклонение приемлемо в наблюдениях при условии, что этот инструмент будет применяться в соответствие с правилами его использования, которые мы опишем в дальнейшем, а также при условии, что звезды удалены от эклиптики менее, чем на 7 градусов, и что расстояние между ними [,предпочтительно,] более 30 градусов, но не менее 10 градусов. Можно показать, что даже если широта одной из звезд равна 7 градусам, а у другой вообще нет широты, это отклонение не повредит наблюдению, так как версинус 7 градусов меньше 27 минут. Предположим, что полная скорректированная хорда равна лишь 10 градусам, то есть линии АБ в данном примере. Прочие же части фигуры останутся без изменения. Проведем из точки Г перпендикуляр ГН к линии АБ. Поскольку версинус половины дуги АБ меньше 14 минут, линия ГН превышает 57 градусов и 46 минут, а линия АГ равна 60 минутам. Поскольку линии ХМ и АБ параллельны, проходящий между ними перпендикуляр создает равные прямые внутренние углы [זויות מומרות]. Поэтому угол ЗЕМ равен углу ГАН, а прямой угол ЗМЕ равен прямому углу ГНА; оставшийся в треугольнике ЗЕМ угол МЗЕ равен оставшемуся в треугольнике ГАН углу АГН. Из сказанного ясно, что треугольники ЗЕМ и ГАН подобны, и поэтому отношение линии ЗМ к линии ЗЕ равно отношению линии ГН к линии ГА. Таким образом, линия ЗЕ превышает линию ЗМ не более, чем на 7 секунд, и это прибавит к квадрату линии ЗМ не более 6 секунд. Внимательно изучив это, ты найдешь, что [при определении величины] линии МХ меньшей может привести к ошибке, чем 1 секунда. Дуга расстояния равная 60 градусам также не оказывает влияния на возникающее здесь отклонение. Ведь, как выяснилось в предшествующем доказательстве, линия ЗЕ не превышает линию ЗМ более, чем на 1 одну минуту, а это увеличивает квадрат линии ЗМ лишь где-то на 53 секунды, что, как ты сможешь увидеть, приводит к ошибке в [определении величины] линии МХ менее, чем в 1 секунду, а это приемлемо в наблюдениях. Таким образом, стоит использовать этот последний, более легкий, способ. Здесь мы завершаем рассмотрение данного использования этого инструмента.

Глава восьмая

Ты должен знать, что с помощью этого инструмента мы сможем с величайшей точностью определить высоту [גובה] солнца и луны, или любой другой звезды и планеты, когда они находятся на меридиане [קו חצי היום]. Это, как тебе, с Божьей помощью, станет ясно в дальнейшем, принесет большую пользу нашему исследованию. [Для определения высоты планет и звезд] нам потребуется поставить посох на опоры - две посредине и две в верхней его части - той, которую мы приближаем к глазу - дабы установить его на земле. В приближаемом к глазу верхнем [конце] посоха поместим ползунок [דף] с небольшим отверстием у поверхности посоха, и начиная от отверстия, а не от центра зрения, отметим градусы [מעלות]. Этот посох следует поместить параллельно горизонту на меридиане [ביושר קו חצי היום]; в дальнейшем мы покажем, как найти меридиан. У нас должно быть много пластин [לוחות] с отверстиями у одного края - когда мы проденем посох сквозь них, они должны находиться под прямым углом по отношению к посоху с наибольшей возможной точностью. Длина одной пластины будет 60 сегментов [מעלות], или более, длина второй пластины - 40 сегментов, длина третьей пластины - 30 сегментов, длина четвертой пластины - 20 сегментов, длина пятой пластины - 15 сегментов, и длина шестой пластины - 10 сегментов. Посох должен быть параллелен плоскости горизонта, когда мы продеваем его сквозь пластину, и шнур отвеса [אנך] должен находиться посередине вершины пластины, так чтоб сам отвес падал на середину пластины. Затем будем приближать или удалять пластину от глаза пока не увидим звезду через отверстие, как будто она касается вершины пластины. Мы должны всегда стремиться к тому, чтоб пластина образовала с наибольшей точностью прямой угол с посохом. Отметим в скольких сегментах [מעלות] и частях [минутах] посоха оказалась [пластина]. Это будет расстоянием [מרחק]. Определим высоту вершины этой пластины по отношению к посоху - например, она может быть больше или меньше 50 градусов, в зависимости от размеров пластины, с помощью которой проводится наблюдение. Эту величину в настоящей главе мы будем называть высотой.
Найдя высоту и расстояние, сложим квадрат высоты с квадратом расстояния и извлечем квадратный корень из суммы; результат будет равен скорректированному полудиаметру. Разделим на него градусы высоты умноженные на 60 градусов, и получим синус дуги высоты звезды над землей, а через него найдем искомую дугу высоты над землей. В этом наблюдении используется наиболее подходящая для него пластина в соответствие с высотой звезды над землей. Вообще же, чем больше расстояние [пластины от глаза] при наблюдении, тем более точным [будет результат]. Таким же способом с помощью этого инструмента возможно узнать широту звезды по отношению к экватору, найдя ее высоту на меридиане. Тем же способом благодаря этому инструменту мы сможем определить текущий час дня или ночи, найдя высоту солнца днем или высоту какой-либо звезды ночью.


 

Глава девятая



Мы можем прибегнуть к этому инструменту для нахождения величины диаметра звезды по отношению к кругу ее вращения. Это достижимо тремя способами.
Первый способ. Рассмотрим расстояние [наблюдаемой] звезды от какой-либо другой звезды, как чтоб оно не содержало искомого диаметра этой звезды, [то есть] возьмём расстояние между [другой] звездой и ближайшей к ней [,т.е. к наблюдаемой звезде,] периферией. Затем вернемся к рассмотрению расстояния между этой звездой и другой звездой, включив в него искомый диаметр звезды. Для этого возьмём расстояние между [другой] звездой и противоположной периферией этой звезды. Разница этого расстояния и первого расстояния будет величиной диаметра звезды по отношения к кругу, по которому она движется.
Второй способ. В пластине, через которою продет посох, будет прямоугольное отверстие, величина которого по отношению к сегментам [מעלות] посоха известна. Высота отверстия над поверхностью посоха должна соответствовать высоте центра зрения над этой поверхностью. Будем приближать ее [,т.е. пластину,] к глазу пока диаметр звезды не заполнит это отверстие по всей его ширине. Поскольку ты знаешь расстояние пластины в момент наблюдения, а также ширину отверстия, можно найти величину диаметра звезды по отношению к кругу ее движения. Ведь ширина отверстия соответствует величине пластины, используемой в этом наблюдении.
Третий способ относится к светилам, таким как солнце и луна. Мы пользуемся им также для Венеры и Юпитера. В последнем случае его применение несколько затруднено слабостью их света. Однако [мы проводим это наблюдение] в самое темное время, когда отсутствует свет других звезд, то есть в ночной тьме когда их свет проходит через окно не смешиваясь со светом какого-либо другого светила. Для этого возьмем посох длиной около 16 пядей или более и установим на одной из его вершин пластину под прямым углом к посоху, так чтоб плоскость пластины пересекала длину посоха под прямым углом. В пластине должно быть круглое отверстие известного диаметра, [измеряемого] в сегментах [מעלות] посоха, например - 1 или 2 сегмента. На другом конце посоха будет еще одна пластина, параллельная первой, на которой виден луч [,т.е. видимый образ,] светила, проходящий сквозь отверстие первой пластины. Если известна величина этого луча [,т.е. видимого образа,] то известно и отношение диаметра светила к кругу, центр которого находится на поверхности земли, [то есть в том месте,] откуда производится наблюдение; его полудиаметр равен расстоянию от этой поверхности. Когда мы определим, насколько ширина луча [,т.е. видимого образа,] превышает ширину отверстия, мы сможем найти дугу, которая ограничивает эту целую хорду, если длину посоха счесть равной 60 градусам. Эта [дуга] будет диаметром светила по отношению к упомянутому кругу.
Приведем пример. Пусть длина посоха между двумя пластинами будет равна 100 сегментам, ширина отверстия - 2 сегментам, и ширина луча [,т.е. видимого образа,] - 3 сегментам. В таком случае ширина луча превосходит [ширину отверстия] на 1 сегмент при длине посоха 100 сегментов; однако, если длина посоха 60 сегментов, эта разница в величине окажется равной 36 минутам. Соответствующая им полная дуга равна 34 минутам и 22 секундам, и поэтому диаметр светила при указанной величине [посоха] равен 34 минутам и 22 секундам. Докажем это. Пусть линия АБ будет диаметром светила, линия ГД - диаметром параллельного ему отверстия, а линия ЕЗ - диаметром луча [,т.е. видимого образа,] параллельного второй пластине. Проведем прямые линии АДЗ и БГЕ, пересекающиеся в точек Х. Угол АХБ - это угловой диаметра звезды по отношению к кругу с центром в точке Х на поверхности земли; угол ЕХЗ равен этому углу. Отметим на линии ЕЗ линию ЕТ, равную линии ГД, и проведем линию ТД; линии ЕТ и ГД параллельны и равны. Поэтому линия ТД параллельна линии ЕХ, и, значит, угол ТДЗ равен углу ЕХЗ, и равен углу АХБ, который является угловым диаметром звезды по отношению к упомянутому кругу.
Любому человеку, знакомому с этой наукой, понятно, что в случае Солнца, Юпитера и Венеры нет большого различия между точкой Х и центром земли. Однако, в случае Луны это различие, очевидно, существует, по причине ее близости к земле. Из этого с необходимостью следует, что мы сможем установить отношение его диаметра к кругу, центр которого совпадает с центром земли, определив отношение диаметра луны к упомянутому кругу. Ты должен знать - чем длиннее посох, с тем большей точностью мы сможем определить величину диаметра светила. Это будет нам в помощь в этой науке, [когда мы будем использовать] с этот созданный нами для наблюдений инструмент, который, как ты сможешь убедиться, весьма поразителен. Этот инструмент мы назвали "Раскрывающий глубины", ибо благодаря ему мы сможем, с Божьей помощью, постичь разнообразные глубины этой науки [מלאכה].
И дабы читатель осознал достоинства этого инструмента и полюбил его, мы посвятили ему два стихотворения, свидетельствующем о пользе этого инструмента для этой науки. Вот они.
[А]

Твердыня, наделил Он человеку богатством - даровал ему ум.
Благодаря уму он созерцает благость Его, и входит в Его храм.
Наделён он [человек] всеми орудиями для постижения мудрости,
всех сокрытых тайн создания и своего Творца.
Он открывает ему тайны Свои во все звездах небесных,
и дает ему постичь путь Свой, Свою даль и величие Свое.
Как устроено небо и каковы пути его? Человек, спроси свой посох, и ты получишь ответ!
[Б]
"Почему вы зовете меня ранящим!?[15] - воскликнул в горечи посох.
Мое имя - благость - свидетели тому звери земные и птицы небесные.
Произошла отрасль из дома Давида[16], до всех концов [земли] благоухание его.
Расскажу я немного о своей славе, перед вами ею похвалюсь.
Я наставляю в науке ученика, забывшего о своем учении.
Во мне найдет опору утративший силы, я во тьме источаю свет.
С моей помощью идущий сквозь воды и топь найдет свой путь.
Глазами я стану слепому, хромому - ногами.
Я руки тем кто утратил силу, я отверзаю уста немому.
Меня поднимет воин против многих и сильны врагов.
И даже если отсечешь ты от меня часть, из ствола своего проращу я новую ветвь вместо старой.
Столь велики дела мои, что люди пришли в заблуждение: стали мне поклоняться и полагаться на меня.
Не надо верить в меня, ибо я не Бог, ведь лишь Прощающий отпускает грех.
Я был там, где несли святой ковчег [завета], и приобщился я к его уделу.[17]
Когда возносят жертвы тамид - я там всегда.
Мной были совершены чудеса пред Паро, заставившие гордого поникнуть.
И если бы не я, Лаван отослал бы Яакова с пустыми руками.[18]
Для человека, взирающего через меня ввысь, я стану дверью в небо:
он постигнет сферы и пути солнца и луны,
ибо он измерит измеримое, и моей десницей промерит небеса.

Тебе следует знать, что этот инструмент изначально был создан нами, дабы исследовать, существует ли эксцентрическая сфера: благодаря ему нам представилась возможность найти истинную видимую величину диаметра луны во всех четыре его направлениях [מרחקיו]. К этому [исследованию] привел нас спор ученых, изучающих природу, о модели Птолемея. Когда мы с помощью этого инструмента выяснили, что в данном случае действительное положение дел не соответствует теории Птолемея, у нас не осталось иного выбора, как исследовать [возможность создания] такой модели видимых движений небесных тел, в которой различие расстояний соответствует наблюдаемому. Вообще же, благодаря этому инструменту мы, наставляемые Господом, благословен Он, сможем обрести истину в этой науке. В этом ты сам убедишься в дальнейшем. Из сказанного ранее ясно, что если нам известна долгота одной звезды и широта другой звезды, видимой [одновременно] с первой, этот инструмент позволит нам определить долготу видимой с ней звезды [,т.е. долготу второй звезды]. Также если мы знаем долготу некоей звезды, и с помощью этого инструмента найдем ее высоту на середине небес [,т.е. меридиане,] мы сможем определить величину склонения звезды от эклиптики, когда мы найдем градус высоты, в котором она находится в середине небес. В дальнейшем мы, с Божьей помощью, покажем как определить это для любого горизонта, ибо мы не знаем истинную долготу и широту ни одной из звезд. Мы поняли это благодаря многочисленным наблюдениям, в которых мы находили долготу и широту звезд в соответствие с таблицами. Из этих наблюдений, вне всякого сомнения, следует, что их долгота и широта не соответствует тем, что приведены в таблицах. Это еще более затрудняет нашу задачу, и мы должны сначала найти [способ] определения долготы и широты неподвижных звезд. А затем уже, используя долготу и широту неподвижных звезд, мы с помощью этого инструмента, возможно, окажемся в состоянии определять долготу и широту планет.

Глава десятая

Как уже было сказано, для того, чтобы мы смогли использовать неподвижные звезды для определения местоположения видимых вместе с ними планет, мы должны прежде исследовать координаты долготы и широты неподвижных звезд во время наших наблюдений. В дальнейшем мы опишем процедуру [для определения местоположения планет по неподвижным звездам]. Прежде всего, рассмотрим местоположение солнца, так как мы в состоянии с точностью определить его истинное местоположение в любое время. Как известно, наблюдать какую-либо звезду или планету - за исключением луны - вместе с солнцем чрезвычайно трудно. Поэтому мы воспользуемся этим инструментом для определения долготы луны наблюдая с помощью этого инструмента луну и солнце вместе тем способом, который мы опишем в дальнейшем. Когда мы производим такое наблюдение, например, [наблюдаем луну вместе с солнцем] незадолго до заката, а затем наблюдаем луну в начале ночи, или чуть позже, вместе с какой-либо неподвижной звездой, мы можем определить расстояние между ними в эклиптической долготе. На основании среднего времени между двумя этими наблюдениями мы сможем найти истинное движение луны в это время, учтя ее местоположение в движении аномалии и высоту в соответствие с моделью Птолемея. За такое короткое время, как мы установили благодаря продолжительным исследованиям, не возникает никакого ощутимого отклонения. Таким образом, местоположение солнце укажет нам на местоположение этой неподвижной звезды.
Теперь мы опишем сделанную нами пластину. У этой пластины, так же как и у описанных ранее пластин, прямые поверхности и отверстие в середине. На некотором расстоянии от отверстия мы установили по ширине этой пластины другую пластину под прямым углом к первой. Длина [второй] пластины равна остатку длины первой пластины на более длинной ее стороне. Затем мы установили эти две пластины на третьей соединив их стороны так, чтоб образовался равнобедренный треугольник. Вслед за этим мы проделали в третьей пластине отверстие, чтобы посох, пройдя через два отверстия [,проделанных в первой и в третьей пластинах,] оказался под прямым углом к первой пластине. Затем начертим прямоугольный треугольник по толщине образующих его пластин, и выделим на сторонах этого треугольника с двух сторон от прямого угла линию, которая будет относиться к всей этой стороне треугольника так же, как синус дуги 15 градусов к синусу дуги 75 градусов. На двух сторонах прямого угла обозначим две точки, которые разделят эти стороны в упомянутой пропорции. Таким образом, когда мы проведем линии из этих точек к вершинам углов прямоугольного треугольника, который мы начертили на этих пластинах, мы, очевидно, получим два прямоугольных треугольника, острые углы которых будут равны 15 и 75 градусам. Приведем пример. Пусть на этих пластинах будет начерчен треугольник ДЕЗ, угол которого в точке Е - прямой. Выделим на линии ДЕ линию ЕТ, которая относится к линии ЕЗ так же, как синус дуги 15 градусов относится к синусу дуги 75 градусов; поэтому угол ЕТЗ будет равен 75 градусам, а угол ЕЗТ - 15 градусам. На линии ЕЗ выделим линию ЕЛ, равную линии ЕТ. Подобным образом выделим на каждой из прилежащих к прямому углу сторон [рассматриваемого] в нашим примере треугольника ДЕЗ линию, которая будет относиться ко всей стороне, на которой она была выделен, так же, как синус дуги 30 градусов относится синусу дуги 60 градусов. Итак, обозначим там точки таким же образом, как и в случае предшествующих точек. Очевидно, что если мы проведем из этих точек линии к двум точкам Д и З, принадлежащим нашему треугольнику, то возникнут два прямоугольных треугольника, [острые] углы которых будут равны 30 и 60 градусам. Очевидно, что оба острых угла треугольника ДЕЗ равны 45 градусам, так как каждый из них составляет половину прямого угла. Таким способом мы можем начертить углы до 90 градусов с интервалом в 15 градусов в треугольнике ДЕЗ, то есть углы 15 градусов, 30 градусов, 45 градусов, 60 градусов, 75 градусов, 90 градусов. Найдя эти точки, проведем из острого угла этого треугольника в конце первой пластины прямые линии, которые проходят через точки, отмеченные нами на второй пластине. Точно так же [проведем линии] из острого угла в конце второй пластины к точкам, отмеченным на первой пластине. В точках вершин острых углов этого треугольника проделаем отверстия, центром которых служат эти точки, и они [,т.е. плоскости этих отверстий,] будут перпендикулярны плоскости треугольника. Вставим в них два колышка, на вершине каждого из которых находится ползунок [דף - vane] с маленьким отверстием, способный двигаться в любом направлении - справа налево, или слева направо; в точках, обозначенных на двух этих пластинах, мы [также] установим ползунки [דף - vane] с отверстиями, [плоскости которых перпендикулярны плоскости треугольника. Основы этих колышков [שרשי היתדות] должны образовать прямой угол с линиями проеденными через эти точки. Через каждый из колышков проведем линию перпендикулярную плоскости треугольника из того места, где каждый из колышков пересекает ту линию, что проходит через их основания; центр отверстия в ползунке, принадлежащем определённому колышку, должен лежать на этой линии, а отверстия [в пластинах], принадлежащих этим колышкам, должны быть перпендикулярны поверхности колышка. Расположим эти отверстия [в ползунках] на одинаковой высоте над плоскостью треугольника.
Подобным образом мы создадим на другой стороне этих пластин еще одни треугольник, так чтоб мы смогли с помощью этого инструмента наблюдать одновременно и солнце и луну, когда солнце расположено к востоку или к западу от луны. Очевидным образом, эта пластина может находиться в двух положениях: в первом диагональная пластина расположена между глазом и прямой пластиной, перпендикулярной посоху; во втором - прямая пластина будет расположена между глазом и диагональной пластиной. Мы будем наблюдать луну из того места посоха, [которое расположено рядом] с глазом таким образом, что [видимый образ] луны будет касаться края второй пластины, [то есть края] на котором нет треугольника; [видимый образ] солнца пройдет через отверстие в одном из острых углов треугольника к одному из отверстий пластины, которое служит синусом [מיתר] этого угла. Когда солнце расположено к востоку от луны, мы направляем конец треугольника направо, и в противоположном направлении, когда солнце западное [,т.е. к западу от луны]. Если расстояние между солнцем и луной не превышает приблизительно 90 градусов, мы поместим диагональную пластину между прямой пластиной и глазом. Если же расстояние между солнцем и луной от 90 до 180 градусов, мы поместим прямую пластину между диагональной пластиной и глазом. Мы утверждаем, что когда луч солнца проходит через отверстие в одном из острых углов к одному из отверстий пластины (и это отверстие служит ей синусом [מיתר]), и когда луна видима из того места посоха, которое приближают к глазу, мы определили видимое расстояние между солнцем и луной. Благодаря этому мы сможем найти истинное расстояние от луны до солнца, при условии, что нам известна величина коррекции параллакса [התחלפות ההבטה]. Мы, с Божьей помощью, определим величину параллакса в дальнейшем.
Приведем пример. Пусть линия АБГ будет посохом, и пусть точка А находится в центре глаза, как мы описали выше, а точка Б будет в месте пересечения пластины и посоха в момент наблюдения. Пусть отмеченный на этой пластине прямоугольный треугольник будет треугольником ДЕЗ - его угол Д прямой, а углы Д и З острые. Точка Д находится в точке [, т.е. на вершине,] острого угла, расположенного в конце первой пластины. Итак, точки первой пластины мы обозначим как ДХТ, точки второй - как ЗКЛ. Прежде всего, предположим, что луч проходит из точки Д в точку Л таким образом, что угол ЕДЛ равен 15 градусам. В этом случае гипотенуза [קוטר] будет расположена между глазом и прямой пластиной; поставим точку М в конце первой пластины - напротив того конца, где расположены пластины образующие треугольник - именно там, в точке М, видимая нами луна касается этой пластины. Угол АБМ - прямой, и величина линий АБ и БМ известна. Благодаря этому мы можем определить угол БАМ приведенным выше способом, а через него мы найдем угол БМА, поскольку он является комплиментарным в 90 градусах. Предположим, что угол БМА равен 75 градусам, а угол ЕДЛ - 15 градусам. Я утверждаю, что расстояние от луны до солнца в момент наблюдения - это [угол] комплиментарный [этим углам] в 180 градусах, то есть угол 90 градусов. Доказательство. Линии ДЛ и МА, выходящие из концов линии ДМ, лежат в одной плоскости, и два угла, образованных линией ДМ, меньше двух прямых углов [,т.е. 180 градусов]. Поэтому две эти линии пересекутся, и в месте их пересечения возникнет угол комплиментарный в 180 градусах. Место их пересечения может быть уподоблено центру угла зрения, ибо вследствие малого расстояния от этой точки до центра зрения не будет ощутимой разницы в расстоянии между луной и солнцем при наблюдении из этой точки и при наблюдении из центра зрения. Итак, этот угол будет видимым угловым между луной и солнцем; когда местоположение луны будет скорректировано в соответствие с параллаксом в момент наблюдения, мы получим истинное местоположение луны в момент наблюдения. Очевидным образом, если при наблюдении периферия луны касается точки М, потребуется прибавить к расстоянию между луной и солнцем приблизительную величину полудиаметра луны, то есть около 15 минут, как мы, с Божьей помощью, покажем в дальнейшем.
Предположим также, что в данном примере луч проходит через точку Т в точку З; угол ЕТЗ равен 15 градусам, и угол ЕТЗ остается равным 75 градусам. Предположим также, что угол БМА, [как и] в предшествующей фигуре, равен 75; видимое угловое расстояние от луны до солнца в момент наблюдения останется углом, комплиментарным им в 180 градусах, то есть оно будет равно 30 градусам; силлогизм строится на этом [והקש על זה].
Пусть теперь прямая пластина треугольника находится между глазом и диагональной пластиной. Пусть фигура останется такой же, как она есть. Я утверждаю, что с помощью этого инструмента можно узнать видимое расстояние от луны до солнца. Предположим, что [в данном случае, как и] в предшествующем примере, луч проходит через точку Д к точке Л. Тогда луна будет видима в точке М. Я утверждаю, что видимое расстояние от луны до солнца может быть определено.
Доказательство. Проведем линии ДЛ и АМ; также из точки А проведем линию АН, параллельную линии ДЛ, и линию АС, параллельную линии ДМ. Мы утверждаем, что видимое расстояние между луной и солнцем равно углу НАМ. Ведь линии ДЛ и НА параллельны, и, значит, когда солнечный луч пройдет из точки Д в точку Л, он пройдет из точки Л в точку А. Ибо полудиаметр земного шара подобен точке по отношению к расстоянию от солнца до земли, и тем более расстояние между этими двумя линиями подобно точке. Таким образом, солнце и луна будут видимы под углом НАМ. Я утверждаю, что угол НАМ равен углу ЛДМ плюс угол, комплиментарный углу БМА в 180 градусах. Ведь два угла БМА и МАС равны двум прямым углам, а угол САН равен углу ЛДМ, поскольку линии, охватывающие эти два прямых угла, параллельны друг другу. Таким образом, угол НАМ равен углу ЛДМ и углу, комплиментарному углу БМА в 180 градусах, который равен углу МАС.
Пусть луч солнца проходит из точки Д к точке Е в то время, когда луна видна на прямой АМ. Я утверждаю, что угловое расстояние от луны до равно углу, комплиментарному углу БМА в 180 градусах. Рассмотрим ту же самую фигуру, где линия АС параллельна линии ДЕ. Из предшествующего способа ясно, что угол САМ является угловым расстоянием луны от солнца, и он является углом, комплиментарным углу БМА в 180 градусах.
Здесь мы завершили доказательства, касающиеся этого инструмента.

Глава одиннадцатая

Ты должен знать, как избежать ошибок при использовании этого инструмента. Прежде всего, если ты проводишь наблюдения с помощью этого инструмента ночью, помести свечу позади себя, так чтоб ее свет падал на всю видимую тебе поверхность пластины, которую ты используешь для наблюдения, дабы ты смог ясно увидеть, касаются ли наблюдаемые тобой звезды двух краёв пластины таким образом, что одна звезда при ее наблюдении касается одного края пластины, а другая звезда при ее наблюдении касается другого края этой пластины. Также линия, идущая из центра тела одной звезды к центру тела другой звезды, должна быть параллельна граням используемой для наблюдения пластины и не должна ощутимо отклоняться в сторону. Причина этого очевидна читателю нашей книги. Тебе следует знать, что в наблюдении не будут получены истинные [результаты], если рядом со звездой есть облака: из-за облака она может показаться расположенной не там, где она в действительности находится. Это [последнее правило] относится к любым наблюдениям: если ты проводишь наблюдения в облачный день с помощью астролябии, высота солнца покажется тебе отличной от действительной - наблюдая высоту солнца ты заметишь, что когда облако движется, изменяется высота солнца. Ты также не должен наблюдать звезду, когда она расположена очень близко к горизонту, поскольку там находятся очень плотные испарения . Тебе следует знать, что облако искажает действительный размер звезды [или планеты]: когда облако обладает значительной плотностью, звезда будет казаться меньше своего действительного размера, когда же облако тонкое, звезда кажется больше, чем на самом деле. Также свет солнца заставляет близкие к нему звезды казаться меньше, чем они на самом деле, а когда они находятся очень близко к солнцу, его свет скрывает их вовсе.
Тебе следует знать, что когда мы хотим определить с помощью этого инструмента местоположение каждой из планет на основании ее расстояния от неподвижной звезды, расстояние между ними [, т.е. между планетой и неподвижной звездой,] не должно значительно превышать 40 градусов, ибо зрение не в силах воспринять две звезды одновременно, [когда они находятся] на большем [, чем это,] расстоянии [друг от друга]. Если же их широты с точностью неизвестны, то расстояние между ними не должно быть меньше 20 градусов, ибо на меньшем [, чем это,] расстоянии возникнет небольшая ошибка при нахождении широты звезды, которая ведет к большой ошибке в определении долготы этой звезды; это тем более верно, когда расстояние [по долготе] между ними велико. Поэтому расстояние между наблюдаемыми звездами должно быть таким, чтоб даже большая ошибка в определении широты звезд приводила [лишь] к малой ошибке [в определении долготы]. Все это должно быть принято во внимание тем, кто знаком со предложенным нами способом определения расстояния [по долготе] между наблюдаемыми звездами при помощи этого инструмента.

Глава двенадцатая

Астролябия, по причине простоты ее использования, может принести значительную пользу. В особенности она полезна для нахождения высоты звезды в любом месте. [Однако,] при ее создании случаются ошибки по многим причинам: во-первых, из-за наклона диаметра этого инструмента; во-вторых, из-за неверной конструкции алидады [הלוח], на которой расположены два ползунка с отверстиями; в-третьих, из-за трудности определения частей градуса в момент наблюдения.
Мы сочли необходимым показать тебе, каким образом следует сконструировать этот инструмент, дабы избежать ошибок, могущих возникнуть по упомянутым причинам. Способ его создания следующий. Сделай алидаду с двумя ползунками, в которых проделаны отверстия, прежде, чем ты отметишь диаметра этого инструмента и прежде, чем ты разделишь его на градусы, и отметь один ее конец. Затем, когда солнце будет приблизительно на меридиане [קו חצי היום], подвесь его; в нижней части инструмента должно быть кольцо, ширина которого равна толщине инструмента. Прикрепи к нему свинцовый камень [,т.е. свинцовый отвес,] дабы нижняя часть инструмента оставалась в одной точке, и не изменила своего положения по какой бы то ни было причине. Расположи алидаду таким образом, чтоб солнечный луч входил в одно отверстие и выходил из другого; отметь то место, куда падает алидада с той стороны. Далее, переверни алидаду на другую сторону, и пусть отверстие, которое изначально было внизу, останется внизу; отметь то место, куда падает алидада, когда луч солнца проходит в одно отверстие и выходит из другого. Проведи это наблюдение немедленно вслед за первым, дабы высота солнца не изменилась заметным образом. Затем раздели на две части [промежуток] между двумя отметинами на нижней части инструмента, и отметь место разделения. Оно будет соответствовать наибольшей высоте с обеих сторон, то есть алидада упадет туда, когда наблюдаемое через два отверстия [небесное тело] находится в зените. Проведи линию через место разделения и через центр инструмента; эта линия является диаметром инструмента для этой алидады, и для того его положения, в котором ты сделал на нем эту разметку. Затем раздели круг начиная от места разделения на четыре равных квадранта с наибольшей возможной точностью, и каждый квадрант раздели с наибольшей возможной точностью на 90 равных градусов; это позволит тебе безошибочно определять градусы высоты.
Для определения частей градуса требует разделить полудиаметр круга на 60 равных частей. Проведем окружность вокруг центра инструмента с полудиаметром равным 3/6 полудиаметра круга. Разделим его таким же образом, как мы разделили внешний круг: поместим алидаду, укреплённую в центре инструмента, у отметок градусов на внешнем круге, и будем делать отметки в тех местах, где алидада пересекает внутренний круг. Мы сделаем отметки, которые разделят внутренний круг на 360 градусов, и нижняя его часть будет разделена на 180 градусов. Затем проведем прямую линию [קו המישור] через отметку градусов внутреннего круга и отметку градусов внешнего круга, [и проведем линии] перед ней и после нее на внешнем круге; проведем эти линии в обоих направлениях. Затем пропустим одну отметку на внутреннем круге во всех направлениях, а с третьей от нее поступим так же, как раньше, в обоих направлениях; будем повторять это действие пока не завершим это во всей нижней части.
Вслед за тем найди для каждой части градусов инструмента расстояние [от центра] на 10 частях [радиуса]. Мы разъясним тебе это разделив каждый градус на 15 равных углов так, что величина каждого из них была 4 минуты. Пусть точка А будет центром инструмента, и пусть один градус на внешнем круге буде дугой БГ. Проведем линии АБ и АГ и из точки Г опустим перпендикуляр ГЕ к линии АБ; пусть величина линии БД будет 1/6 линии АБ; проведем линию ДГ. В таблицах дуг и синусов мы находим, что при величине 60 градусов линии АГ, линия ЕГ приблизительно равна 1 градусу, 2 минутам и 50 секундам, линия ЕБ - приблизительно 33 секундам; остается линия ЕД, равная приблизительно 9 градусам, 59 минутам и 27 секундам. Поскольку квадрат линии ГД больше самой этой линии на, приблизительно, величину квадрата линии ГЕ, ГД равна приблизительно 10 градусам, 2 минутам и 47 секундам. Отметим на лини ГД точку З, и проведем линию АЗ. Предположим, прежде всего, что угол ГАЗ равен 4 минутам. На основании этого мы хотим определить величину линии АЗ; очевидно, что поскольку угол ГАЕ равен 1 градусу, угол ЕГА является комплиментарным ему в прямом углу - он равен 89 градусам. Когда мы вычтем из него угол ЕГД, останется известный угол ДГА; угол ЕГД известен, поскольку стороны треугольника ГЕД известны. При величине 10 градусов, 2 минуты и 47 секунд линии ГД, линия ГЕ равна 1 градусу, 2 минутам и 50 секундам; а если линия ГД равна 60 градусам - линия ГЕ равна 6 градусам, 15 минутам и 16 секундам. Поэтому угол ГДЕ равен 5 градусам 59 минутам; угол ЕГД является комплиментарным ему углом в 90 градусах, то есть он равен 84 градусам и 1 минуте; угол ДГА равен 4 градусам и 59 минутам. Угол ГАЗ равен 4 минутам; оставшийся в треугольнике угол ГЗА является ему комплиментарным в 180 градусах, то есть он равен 147 градусам, 57 минутам. Таким образом, ясно, что при величине линии ГА в 5 градусов, 16 минут и 63 секунд величина линии АЗ будет 5 градусов, 12 минут и 43 секунды; а при величине линии ГА в 60 градусов линия АЗ будет равна 59 градусам, 12 минутам и 31 секунде. Поэтому, если мы начертим круг вокруг центра инструмента, его полудиаметр будет равен 59 градусам, 12 минутам и 31 секунде, тогда как полудиаметр круга астролябии, который содержит градусы, - 60 градусов.
Раздели все эти градусы [המעלות האולכסוניות] этим способом, то есть так, чтобы угол наименьшей их части [השפל מהם] был равен 4 минутам. Теперь угол ГАЗ будет равен 8 минутам, и, значит, угол ЗГА равен 4 градусам и 59 минутам; в треугольнике остался угол ГЗА, который является комплиментарным в 180 градусах, то есть он равен 174 градусам и 53 минутам. Таким образом, ясно, что если величина линии ГА - 5 градусов, 21 минута и 3 секунды, то линия ЗА равна 5 градусам, 12 минутам и 43 секундам. Если же величина линии ГА 60 градусов, то величина линии ЗА - 58 градусов, 26 минут и 45 секунды. Назначим эту величину полудиаметру третьего круга. Тем же способом мы придём к выводу, что полудиаметр четвертого круга - 57 градусов, 41 минуты и 41 секунды. Полудиаметр пятого круга - 56 градусов, 57 минут и 50 секунд. Полудиаметр шестого круга - 56 градусов, 14 минут и 59 секунд. Полудиаметр седьмого круга - 55 градусов, 33 минуты и 20 секунды. Полудиаметр восьмого круга - 54 градуса, 52 минуты и 53 секунды. Полудиаметр девятого круга- 54 градуса, 13 минут и 14 секунд. Полудиаметр десятого круга - 53 градуса, 43 минуты и 22 секунды. Полудиаметр одиннадцатого круга - 52 градуса, 56 минут и 26 секунд. Полудиаметр двенадцатого круга - 52 градуса, 19 минут и 31 секунда. Полудиаметр тринадцатого круга - 51 градус, 43 минуты и 28 секунд. Полудиаметр четырнадцатого круга - 51 градус, 8 минут и 13 секунда. Полудиаметр пятнадцатого круга - 50 градусов, 33 минуты и 45 секунд. Полудиаметр шестнадцатого круга, в соответствие с этим подсчётом, - 50 градусов, - такова его величина; подобным образом можно произвести деление всех градусов на 15 равных углов.
Такое деление градусов не представляет трудности, поскольку у Евклида приведен способ деления любой линии пропорционально делению некоей данной линии. Для этого делят длинную линию в соответствие с этим делением, а затем линию, которая является полудиаметром круга инструмента делят пропорционально ей описанным там способом. Ты должен знать - чем больше размер астролябии, тем более точен этот инструмент; также его полудиаметр не должен быть меньше пяди, дабы ты смог достичь наибольшей точности. Что касается дополнительных указаний по изготовлению астролябии - другими было сказано об этом достаточно.

Глава тринадцатая

Итак, мы привели те указания по созданию астролябии, которые исключат возможность возникновения ошибки при определении [с ее помощью] высоты, дабы мы смогли достигнуть точности до минут и секунд. Очевидно, что такой инструмент позволяет с лёгкостью и величайшей точностью определить меридиан. [Ты сможешь определить меридиан следующим образом:] найди с ее помощью высоту солнца около полудня, и наблюдай, [постепенное] небольшое увеличение высоты [солнца] до тех пор, пока она не перестанет увеличиваться - это произойдет приблизительно в полдень. Если на полу дома ты проведешь линию вдоль прямой солнечного луча прошедшего в это время сквозь окно, эта линия будет приблизительным меридианом. Мы можем с наибольшей точностью определить меридиан еще одним, следующим, способом. Прежде всего исследуем высоту полюса для того места, где мы находимся, с помощь упомянутой астролябии, наблюдая Солнце в начале [,т.е. в 0 градусов,] Рака или в начале Козерога, либо близко к [их] началу. В этом случае ошибка, возникающая из-за отклонения в определении долготы солнца, не окажет влияния на определение высоты солнца по причине малости изменения склонения при разнице в один градус [при определении долготы солнца]. Таким образом, когда мы прибавим к высоте солнца, находящегося в начале Козерога, половину разницы его высоты в начале Рака и его высоты в начале Козерога, сумма будет равна высоте [солнца] в начале Овна для данного горизонта [,т.е. для данной местности]. Когда мы вычтем высоту [солнца] в начале Овна из 90 градусов, остаток будет равен высоте полюса на для данного горизонта. Таким образом, половина разницы высоты в начале Рака и высоты в начале Козерога равна склонению начала Рака от экватора. Благодаря этому способу исследования мы нашли с величайшей точностью, что величина склонения равна 23 градусам и 33 минутам .
Установив это, [будем наблюдать] солнце в начале Рака или в начале Козерога, или близко к этому [месту, т.е. близко к началу Рака или к началу Козерога], дабы в наших наблюдениях не возникло ощутимой ошибки при рассмотрении истинного положения солнца. Будем наблюдать его луч в доме с параллельными стенами и прямым полом параллельным плоскости горизонта. В этом доме должно быть окно, обращённое [с большим] приближением на восток или на запад; оно должно быть прямоугольным и с прямыми сторонами; верхняя [грань] окна должна быть параллельна полу этого дома, а его левая и правая грани - перпендикулярны плоскости пола этого дома. Если это окно [с большим] приближением восточное, то начертим на противоположной ему западной стене параллельную горизонту линию, расположенную несколько ниже верхней грани окна, например [ниже] пятью пядями или более. Под этой линией, приблизительно в пяди от нее, начертим на [западной,] стене линию параллельную первой. Утром, когда верхний луч достигнет верхней лини, отметим на нижней линии то место, где этот луч пересекает нижнюю линию, прямой линией, которую проведем до верхней линии, и место, где эта линия пресечет верхнюю, мы будем считать верхом луча. На основании этого мы сможем определить местоположение солнечного луча на этой стене в момент истинного восхода.
Приведем пример. Проведем на восточной стене линию АБ перпендикулярную полу дома, эта линия будет касаться северного края окна; и пусть, например, точка Е на ней будет вершиной северной грани окна. На западной стене начертим линию ГД, параллельную линии АБ, которая будет касаться луча, проникающего [в дом] рядом с северной гранью восточного окна. Пусть, например, точка З на ней будет вершиной луча, [идущего] от этой грани; точка Т будет представлять центр солнца, чей нижний полудиаметр, параллельный линии ГД, является линией ТХ. Из сказанного ранее ясно, что истинный луч, идущий из центра солнца, находится ниже точки З на величину углового полудиаметра солнца и к югу от точки З на величину углового полудиаметра солнца. Мы покажем, каким образом можно найти точку, лежащую ниже точки З на, приблизительно, угловой полудиаметр солнца, и благодаря этому определим точку, лежащую к югу от нее на величину углового полудиаметра солнца. Продлим линию ЗЕ до точки Х; пусть угол ЗЕХ будет равен полудиаметру солнца, найденному нами с помощью созданного для этого инструмента, который мы описали выше. В начале Козерога он равен 15 минутам, с небольшим отклонением, в соответствие с нашими наблюдениями. Точка Л находится линии ГД между точками З и Д; проведем линию ЕД и измерим ее линейкой; тем же способом установим величину линии ЗД. Таким образом, нам известны стороны треугольника ЗЕД, а из этого следует, что известны и его углы включая угол ЕЗЛ.
Угол ЗЕЛ известен, и оставшийся в треугольнике угол ЗЛЕ также известен. Поскольку величина линии ЗЕ известна, можно, как было показано выше, установить величину линии ЗЛ. Определив величину линии ЗЛ, проведем на стене из точки Л линию ЛН, параллельную линии пола дома; точка Н будет находиться к югу от линии Л. Предположив, что угол ЛЕН будет равен угловому полудиаметру солнца, найдем величину линии ЛН приведённым выше способом. Точка Н в данном примере - это место истинного восхода центра солнца; проведем линию НС на западной стене под прямым углом к линии ЛН, так чтоб высота точки С была равна высоте точки Е. Измерим линейкой величину линии НС; очевидно, что истинная высота солнечного луча в момент истинного восхода равна высоте точки С, однако, она наклонена от точки С к югу на западной стене.
Нам следует определить место истинного восхода на западной стене. [Прежде всего,] мы приведем очевидную предпосылку [הצעה]: величина склонения плоскости круга экватора [עגלת המשוה] по отношению к горизонту равна величине склонения все прочих параллельных ему кругов. Солнце восходя по этим кругам, восходит по этой наклонной плоскости. Приведем еще одну предпосылку: читателю этой книги понятно, что солнечный луч, который достигает нас, когда он находится на кругах параллельных кругу экватора [עגלת משוה היום], не расположено на его параллельном круге, поскольку он проходит через центр круга экватора, а не через центр его параллельного круга. Дело обстоит таким образом поскольку земля находится в центре круга экватора (это было доказано древними и будет рассмотрено, с Божьей помощью, нами в дальнейшем), и вся она почти как точка по отношению к сфере солнца. Поскольку этот луч проходит по прямой чрез центр круга экватора, он, очевидно, оканчивается на параллельном круге, находящемся с другой стороны, равном кругу, на котором находится солнце. Пусть окно в данном случае представляет центр земли, ибо в здесь это не повредит [расчетам]; по упомянутой выше причине, ты найдешь, что чем больше склонение солнца к северу, тем большим будет склонение его луча на западной стене к югу. Поскольку солнце восходит на любом горизонте по наклонному кругу, а не по перпендикулярному горизонту кругу, мы должны определить величину угла, под которым восходит солнце, то есть от истинного восхода и до того, как оно, в нашем примере, достигнет точки З в соответствие с наблюдениями, поскольку он [,т.е. этот угол,] отличен от угла, который образует с горизонтом параллельный ему круг.
Пусть плоскостью круга горизонта будет круг АЕДГ с центром в точке Е; проведем прямую линию БЕГ, линия БЕГ обозначает диаметр круга экватора, и ее пересекает под прямым углом линия АД в точке Е. Линия ЗХ обозначает пресечение круга горизонта с дневным кругом Солнца [העגלה הנוכחים אשר ילך בה השמש], когда оно находится в начале Козерога; линия ЗХ [также] пресекает под прямым углом линию АД в точке Т. Предположим, что солнце восходит к востоку от параллельного круга на величину дуги ЗЛ, и солнце находится в точке Л; линия ЛК перпендикулярна линии ХЗ и пересекает ее в точке К. Проведем из точки Л перпендикуляр ЛН к плоскости круга АБГД, и проведем линию КН на плоскости круга АБГД. Таким образом, угол ЛКН равен наклону к горизонту восхождения всех параллельных кругов; после того как мы вычтем из 90 градусов высоту полюса останется угол КЛН равный углу дуги высоты полюса. Ты сможешь определить величину линии ЛН, если найдешь высоту солнца в этот момент с помощью прежде упомянутой астролябии, поскольку синус [המיתר המחוצה] этой высоты равен линии ЛН. Очевидно, что если окно находится в точке Т, то наклон параллельного круга к горизонту будет видимым склонением солнца, когда оно по нему восходит. Тем не менее, окно находится в точек Е с некоторым приближением. Поэтому, когда мы захотим определить величину видимое склонение солнца при его восхождении из точки З в точку Л, мы должны будем провести из точки З в точку Е прямую линию ЗЕС. Как представляется, дуга ЗЛ - это дуга большого круга из точки З в точку Л; проведем из точки Л [ее] синус [מיתר מחוצה] ЛМ, падающий на диаметр ЗЕС в точке М. Проведем линию МН; очевидно, что угол ЛМН является видимым склонением солнца при этом восхождении, и этот угол отличен от угла ЛКН.
На основании высоты солнца ты можешь узнать восходящую дугу параллельного круга, то есть дугу ЗЛ, прибегнув к способу расчёта пройденного [небесными телами] пути [מהלכות], который мы, с Божьей помощью, опишем в дальнейшем.
В таблице дуг и хорд ты найдешь величину полной хорды - прямой линии ЗЛ в этой фигуре, когда величина полудиаметра параллельного круга - 60 минут. Таким образом, ты узнаешь величину прямой линии ЗЛ, когда величина полудиаметра круга экватора - 60 минут, поскольку отношение этих диаметров друг к другу известно. Проведя для этой хорды полную дугу, ты получишь дугу идущую из З в Л на большом круге. Ее синус [המיתר המחוצה] - линия ЛМ на этой фигуре - известен, величина линии ЛН была уже найдена, и, таком образом, можно найти величину линии МН, поскольку квадрат линии ЛМ превосходит линию ЛН приблизительно на квадрат линии МН. Поскольку все три стороны треугольника ЛМН известны, известны и его углы; поэтому ты можешь найти угол ЛМН, равный углу видимого склонения солнца на восходе по этой, принятой нами, дуге ЗЛ.
В первой фигуре из точки Н - на западной стене к югу - начертим угол СНО, равный углу МЛН во второй фигуре; линия СО будет перпендикулярна полу дома, который параллелен кругу горизонта. Можно показать, что для луча, исходящего из истинного центра солнца, истинный восход находится в точке О, поскольку угол СОН равен углу ЛМН, который, как уже было показано, равен видимому углу склонения солнца на восходе. Тебе следует знать, что это верно, если западная стена перпендикулярна линии ОЕ в этой фигуре, ибо линия МН перпендикулярна линии ЗС во второй фигуре. Если западная стена не расположена под прямым углом к линии ОЕ, это склонение будет чуть большим к югу на [западной] стене. Это станет ясно из следующего.
Пусть параллельная линии пола дома линия западной стены, где находится истинный восход, не будет перпендикулярной линии СЗ во второй фигуре. Точка П будет местом истинного восхода, когда солнце расположено в точке З; точка Е представляет точку на вершине окна, а точка О - представляет точку С в фигуре окна. Линия РО перпендикулярна линии ОП; она проведена сверху вниз так же, как линия СН в предшествующей фигуре. Проведем из точки О перпендикуляр ОШ к линии СЕ, а также начертим линию РШ. Из сказанного выше ясно, что угол ОРШ равен известному углу ЛМН, а угол РОШ является прямым; остается угол ОРШ, который известен. Поскольку линия ОР известна, известны также и остальные линии, включая линию ОШ. Очевидно, что квадрат линии ОП превосходит ее на, приблизительно, квадрат линии ПШ. Таким образом, склонение истинного восхода солнца будет превосходить ту [часть], на которую, как мы полагаем, линия ОП превосходит линию ОШ; однако, в данном случае нам не требуется подобная точность, поскольку высота звезды, когда она находится у меридиана, не изменяется ощутимым образом по причине близости к меридиану. Если ты захочешь произвести [описанным далее образом] еще более точные вычисления , ты достигнешь величайшей точности. Рассмотри, расположен ли луч, проникающий сквозь окно и достигающий места истинного восхода на стен, под прямым углом к линии СО в первой фигуре. Если он не расположен к ней под прямым углом, то [выясни] под каким именно углом - острым или под углом, являющимся остатком 180 градусов, если он тупой. Отношение синуса этого угла к 60 градусам равно отношен линии ОШ в этой фигуре к линии ОП. Поэтому прибавь к линии СО [величину] пропорциональную разнице линий ОП и ПШ, и ты получишь искомое с величайшей точностью. Если ты продолжишь [вычисление] с такой точностью, [найдя] увеличение линии СО в упомянутой пропорции, ты достигнешь истины [,т.е. получишь истинные результаты,] с величайшей точностью. Когда ты определишь точку истинного восхода на западной стене, опусти из этой точки отвес, и отметь точку на полу дома, на которую укажет отвес. [Также опусти отвес с вершины окна на стороне, ограничивающей луч [הגבלת ניצוצו] и отметь на полу дома ту точку, на которую укажет отвес. Затем проведи прямую линию на полу от одной отмеченной [точки] к другой, и эта линия будет подобна линии ЕС в предшествующей второй фигуре. После этого найди в таблицах широту восхода [מרחב הזריחה - "ortive amplitude"] градуса, в котором расположено солнце на том горизонте [,т.е. в той местности,] где ты находишься. Это будет дуга БЗ в прежде упомянутой второй фигуре. Проведи на земле линию, которая пересечет другую линию на полу так, чтоб она описала угол равный углу БЕЗ в этой фигуре, который является широтой восхода [מרחב הזריחה] того градуса, где расположено солнце. Наклон этой второй линии, напчреченной на полу, по отношению к первой линии будет с западной стороны к северу, когда солнце находится в северных знаках, и к югу, когда солнце в южных знаках; о наоборот, если окно расположено на западной стене; причина всего этого очевидна читателю нашей книги. Эта вторая линия представляет линию БЕГ в этой фигуре; ее восточный конец - место восхода в начале Овна и в начале Весов, западный же ее конец - место их захода. Если в этом доме имеется окно на южной стене, опусти с вершины окна на одной из его сторон отвес до пола, и отметь там [,т.е. в том месте, где окажется отвес,] точку. Из отмеченной [точки] проведи линию под прямым углом к линии представляющей линию БЕГ; эта линия будет меридианом, то есть когда луч из центра солнца пройдет через эту линию - настанет полдень. Если длина этого дома около 40 или 50 пядей, это, как станет ясно в дальнейшем, принесет большую пользу в достижении любого познания, искомого в отношение солнца.

Глава четырнадцатая.

Тебе следует принять во внимание трудность определения истинного положения неподвижных звезд по долготе и по широте, (в наших наблюдениях это местоположение будет основой определения местоположений планет). Может показаться, что эти трудности уже были разрешены нашими наблюдениями, поскольку движение луны представляется, вне всякого сомнения, известным. Однако, по внимательном рассмотрении этого мы пришли к выводу, что знание местоположения луны недостаточно для определения местоположения видимых вместе с ней неподвижных звезд. Ведь луна, даже в противостояниях [с солнцем, т.е. в полнолуниях] и в новолуниях не находится в тех местах, что указаны в таблицах, созданных соответствие с моделью Птолемея. Ты сможешь сам убедиться в этом в моменты лунных затмений, которые иногда происходят прежде [времени, определённого по] модели Птолемея, а иногда после, но в любом случае имеется существенная ошибка. Это тем более верно для остальных дней [лунного] месяца - здесь мы обнаружили ошибку превосходящую плюс-минус 1 1/2 градуса. Более того, величина лунного параллакса, как следует из наших многочисленных наблюдений, представляет весьма сомнительной. Ведь, как мы, с Божьей помощью, покажем в дальнейшем, он [,т.е. наблюдаемый лунный параллакс,] не соответствует из расчётам Птолемея. [Всей] это заставляет серьёзно усомниться в местоположении видимых с ней [,т.е. с луной,] звезд.
Более того, несмотря на то, что расстояние луны от солнца действительно соответствует модели Птолемея, мы не сможем определить истинное местоположение луны не зная истинного местоположения солнца. Определить истинное местоположение солнца настолько сложно, что Птолемей писал, что ему не известен [точный] момент вхождения солнца в начало Овна - его не знали его предшественники, и узнают его последователи. Причина его утверждения заключается в следующем: существовавшие тогда наблюдательные инструменты для определения высоты (такие как астролябия) во многих аспектах были приблизительны (о чем уже говорилось выше), и небольшая ошибка в [определении] высоты солнца приводила к большой ошибке при нахождении его местоположения по долготе. Более того, имеются сомнения в коррекции [תיקון] среднего движения солнца [תנועת השמש המאמצעית]; Птолемей полагал, что максимальная коррекция [תיקון] составляет около 2 градусов и 22 минут, однако, жившие после него [ученые] считали, что она не превышает 2 полных градусов. И еще, существует сомнение в отношение апогея сферы [גלגל] солнца, ибо, по мнению Птолемея, он всегда находится в 5 1/2 градусов Близнецов, тогда как некоторые жившие после него [ученые] полагали, что он находится в 17 1/2 градусов Близнецов, [то есть в месте,] где он расположен около 12 столетий после наблюдений Птолемея. По Аль-Батани, апогей находится в 19 градусах и 15 минутах Близнецов в упомянутое нами время [,т.е. 12 столетий после наблюдений Птолемея]. Все это затрудняет определение истинного местоположения солнца.

Глава 15

Как мы уже разъяснили, невозможно определить местоположение неподвижных звезд по долготе и широте не зная истинного местоположения солнца. Нахождение же истинного местоположения солнца весьма затруднительно из-за неопределённостей в отношение его среднего местоположения по долготе, величины наклона эклиптики к экватору, а также в отношении величины его [,т.е. среднего местоположения,] коррекции и места его [,т.е. солнца,] апогея. Мы постарались найти способ определения истинного местоположения солнца на каждый день, и [способ] определения максимальной величины коррекции движения солнца, и [способ] определения величины наклона эклиптики к полюсу сферы экватора, а также [способ] определения апогея солнца.
Для этого мы предприняли следующие действия: мы проделали в дом высокое окно, обращённое к югу, с прямыми углами и ровными гранями. Его верхняя сторона перпендикулярна линии пола дома, а западня сторона перпендикулярна плоскости пола дома, который параллелен плоскости круга горизонта. Мы опустили по прямой отвес к полу от западной стороны окна, и выпрямили пол дома таким образом, что стена с окном находится под прямым углом к нему. В том месте на полу, куда опустился отвес, мы сделали отметину, и из этой отметины провели на полу линию, которая будет служить меридианом, в соответствие с приведёнными выше объяснениями. К западу от этой линии мы провели на полу параллельную ей линию, находящуюся на расстоянии около половины пяди, или меньше, от нее. Когда западный край луча достигнет этой второй линии, мы отметим на первой лини то место, где вершина луча, идущего из верхней части окна, пересечет ее. Мы будем отмечать это в любой выбранный нами день.
Ты найдешь, что чем более солнце приближается к началу Овна, тем ближе оказывается вершина луча [ראש הניצוץ] к стене с окном. В конце-концов ты заметишь на этой линии [изменение] склонение солнца в его пути в течение одного дня, даже когда оно находится вблизи начала Рака. Исследовав это, ты найдешь, что если вершина окна расположена на высоте, приблизительно, 24 пядей, [изменение] склонения солнца на 1 градус в начале Рака приводит к [разнице] между отметинами на меридиане [, начерченном на полу] этого дома, близкой к половине пяди для горизонта, где высота полюса равна 44 градусам. Очевидно, что эта величина делима на минуты известной величины, а также, возможно, приблизительно на секунды, подобно тому как мы разделили сегменты [מעלות] посоха на минуты.
В течение десяти дней, или немногим меньше, [до того, как] солнце достигло начала Рака, мы каждый день наблюдали описанным ранее способом солнечный луч, и записывали рядом с тем месте, где [мы делали] отметку [на полу], дату [нашего] наблюдения; мы продолжали поступать так, пока отметка не оказалась ближайшем возможном расстоянии от окна, и мы отметили это место. Мы [продолжали] эти наблюдения, когда солнце начало опускаться к югу [отметка] близко к тому месту, которое мы отметили за 10 дней до того, как солнце достигло начала Рака; мы заметили, что [отметка] пришла на то же место, или близко к нему. Как бы то ни было, благодаря этому мы сможем с величайшей точностью определить момент достижения солнцем начала Рака.
Приведем пример. Пусть точка Т обозначает вершину окна; западной гранью окна будет линия ТХ. Продлим эту линию по прямой до пола дома - это будет прямая линия ТХА, линия ТХА перпендикулярна плоскости пола дома; меридианом на плоскости пола дома будет линя АБГ. Прежде всего, предположим, что солнце [,т.е. солнечный луч,] вернется в к той же самой отметке, где оно было примерно за десять дней до своего вхождения в начало Рака. Пусть точка Б означает место, где был солнечный луч в начале Рака; место, где солнечный находился за, приблизительно, десять дней до того, как солнце оказалось в начале Рака, будет обозначать точка Г. Предположим, что солнечны луч вернется на то же место через 12 двенадцать дней после того, как он там оказался в первый раз. Мы утверждаем, что, очевидным образом, через 9 дней и 12 равных часов после первого наблюдения солнце было в начале Рака, ибо [истинное] движение солнца в первой половине этого времени должно быть с точностью равно его истинному движению во второй половине [этого времени], поскольку величина коррекции не изменится ощутимым образом за это небольшое время, даже если его апогей [גובה] до или после начала Рака достигал 10 градусов.
Предположим также, что она [,т.е. отметка солнечного луча,] не совпадет с точкой Г, но окажется близко к ней; [обозначим это место] точкой Д. Предположим, что на следующий день, после того как отметка была в точке Г, она будет в точке Е; определим отношение ГД к ГЕ и разделим этот один день на это отношение. Например, если линия ГД равна одной шестой линии ГД, то мы знаем, что за 4 часа, то есть за 1/6 дня, солнце пройдет это расстояние между точками Г и Д. Если точка Д находится между точками Б и Г, прибавим эти четыре часа ко времени, прошедшему между отметкой Г и отметкой Д; если же точка Д находится с другой стороны, вычтем из этого времени четыре часа. Если мы разделим время, полученное в результате прибавления или вычитания, пополам, мы получим в наибольшем приближении время, когда солнце находилось в начале Рака. Тем же способом мы найдем момент вхождения солнца в начало Козерога. Если временной промежуток от момента вхождения солнца в начало Рака до момента вхождения солнца в начало Козерога равен временному промежутку от момента вхождения солнца в начало Козерога до момента вхождения солнца в начало Рака, мы будем знать, что апогей находится в начале Рака. Мы сможем это установить, если найдем, что время, прошедшее с момента вхождения солнца в начало Рака до момента его вхождения в начало Козерога, равно половине длины года. Если же оно не равно [половине длины года], то мы установим, что апогей находится в той части, для прохождения которой солнцу потребовалось больше времени. Поскольку дело обстоит таким образом, мы определим местоположение апогея способом, который разъясним в дальнейшем.
Отметив [положение] солнца в полдень в начале Рака и [положение] солнца в начале Козерога, мы сможем благодаря этому установить наклон сферы зодиака [,т.е. эклиптики,] к сфере экватора, а также высоту полюса для этой местности. Для этого мы воспользуемся предшествующей фигурой и предположим, что в ней в точка Б отмечает начало Рака, а точка З отмечает начало Козерога. Проведем прямую линию АБГЗ; точка Т будет, так же как раньше, вершиной окна, откуда идет этот луч; проведем линию ТБ и ТЗ. Определим с помощью линейки величину линий ТБ, ТЗ и БЗ, и благодаря этому найдем угол БТЗ, являющийся удвоенным углом склонения, а также угол ТЗБ - высоту солнца [, когда оно] в начале Рака. В соответствие со сказанным выше, следует прибавить к высоте [солнца в] начале Козерога приблизительный полудиаметр солнца и прибавить к результату половину угла БТЗ. Таким образом, ты получишь высоту [солнца] в начале Овна на этом горизонте, а комплиментарный ему угол в 90 градусах будет высотой полюса для этого горизонта. Установив это ты сможешь узнать этим способом при помощи этой линии высоту солнца в любой день, в который пожелаешь. Зная высоту солнца и величину склонения, ты сможешь на основании этого с лёгкостью найти в таблицах склонений градус и части градуса [долготы], соответствующие этому склонению; таким образом, ты найдешь истинное местоположение солнца в любой день, в который пожелаешь. Если ты исследуешь истинное местоположение солнца на эклиптике примерно за 40 или 50 дней до его вхождение в начало Рака, а также его истинное местоположение примерно 40 или 50 дней после вождения в начало Рака, ты сможешь узнать местоположение апогея солнца и максимальную величину коррекции [среднего движения солнца]; это можно найти подобным описанным в для планет способом; мы, с Божьей помощью, докажем тебе это в разделе, посвящённом сфере солнца. Обладает ли солнце сферой, центр которой не совпадает с центром мира, ты сможешь узнать после того, как определишь местоположение апогея, ибо когда оно находится в этом месте, ты сможешь установить размер диаметра солнца с благодаря лучу, проходящего через окно посоха [? מקל - скорее всего, должно быть "окно дома"]. Сверх того, исследуй его [,т.е. диаметра,] размер, когда солнце находится в перигее [שפל]. Если ты найдешь, что эти размеры равны, ты установишь, что солнце не обладает центром, который, как полагал Птолемей, не совпадает с центром мира. Если же эти размеры будут отличаться, ты поймешь, что его центр не совпадает с центром мира. Вообще же, в любом случае, размер солнечного диаметра в различных местах сферы представляется наблюдателю разным, и если это [изменение размера] оказывается упорядоченным, то мы будем знать, что его центр не совпадает с центром мира. Ты сможешь установить истинное местоположение солнца в любой день, даже если оно не находится на меридиане, а также момент, когда солнце находится в начале Рака и в начале Козерога, местоположение апогея солнца, и максимальную величину коррекции [среднего движения] солнца, после того как ты найдешь высоту плюса для своего горизонта и величину наклона сферы зодиака к сфере экватора с помощью прежде упомянутой астролябии. Эти [наблюдения следует производить] в доме с обращённым на восток или на запада окном с прямыми гранями; его длина должна быть около 40 пядей или более, ибо чем длиннее дом, том большая точность будет достигнута. Дом будет прямоугольным с прямыми стенами; на противоположной окну стене начертим линию параллельную линии пола дома, и эта линия будет ниже вершины окна на, приблизительно, шесть пядей или более, а под ней - приблизительно на расстоянии пяди или более - начертим другую линию, параллельную первой. Когда вершина луча достигнет верхней линии, обратим внимание, где этот луч пересечет нижнюю линию одной из сторон луча - например, северной стороной; чрез это место нижней линии проведем перпендикулярную ей линию, до пересечения с верхней линией; в этом месте отметим этот луч в момент наблюдения. Каждый день отмечай с величайшей аккуратностью склонение, поскольку в этом случае градусы склонения чрезвычайно велики благодаря [значительному] размеру линии луча и благодаря тому, что они приблизительно равны широте склонения [амплитуде - מרחב הנטיה] в момент восхода на данном горизонте (это легко понять из сказанного нами ранее), и, таким образом, каждый градус склонения будет больше пяди той линии, на которой делались эти отметки.

Если ты нанесешь эти отметки способом, описанным нами в отношение отметок на меридиане, то узнаешь, например, местоположение Солнца в начале Рака, а также [узнаешь] время вхождения Солнца в начало Рака, и [все] это с величайшей точностью.
Мы утверждаем, что с помощью этого можно установить величину коррекции [שעור התקון] Солнца и местоположение его апогея. Выше мы уже показали, как с помощью этих отметок можно определить истинный восход, когда солнце расположено в начале Рака, а также узнать с их помощью местоположение истинного восхода, когда солнце находится в каком-либо другом из отмеченных мест. Установив эти два места, мы измерим с помощью линейки расстояние между ними, а также определим величину линий, соединяющих вершину окна со стороны [противоположной окну стены, на которой] отражается [солнечный] луч, с каждым из упомянутых мест. Таким образом, мы получим треугольник с известными сторонами. Благодаря этому мы сможем описанным ранее [способом] найти все углы, и в частности будет установлен угол у вершины окна, являющийся амплитудой восхода [מרחב הזריחה - rising amplitude] для данного горизонта из градуса, в котором расположено солнце в момент его нахождения в этой отметке и до начала Рака. Поскольку нам известно склонение, а также, как было сказано выше, высота полюса для данного горизонта, можно, как мы покажем в дальнейшем, установить амплитуду восхода [מרחב הזריחה] начала Рака. Когда мы вычтем этот угол у вершины окна из амплитуды восхода начала Рака, остаток будет равен углу амплитуды восхода градуса, в котором находится солнце. На основании этого мы сможем в момент наблюдения с лёгкостью определить градус солнца, которому для данного горизонта соответствует эта амплитуда [מרחב]. Это не требуется разъяснять тому, кто обладает достаточными для самостоятельного завершения это исследование познаниями в этой науки. Также на основании этого можно установить истинное местоположение солнца, когда оно возвращается в эту или другую отметку. Если мы сделаем это, если нам будет известно время каждого из этих наблюдений, мы сможем установить время, когда солнце вошло в начало Рака. Благодаря этому мы сможем, так же как в случае фигуры меридиана [תמונת חצי יום], определить величину коррекции солнца и местоположение апогея сферы солнца. Этот способ мы, с Божьей помощью, рассмотрим подробнее в разделе посвященном сфере солнца.
Если ты хочешь с лёгкостью определить длину линий, соединяющих окно и отметки на стене, то стены и углы дома должны быть прямыми. Об этом условии мы уже говорили выше. Измерив ее длину [,т.е. длину стены,] расстояние от вершины окна до северной стены, а также расстояние от отметок до северной стены, ты без труда определишь длину этих линий. Если же углы дома не будут прямыми, возникнет определённое затруднение при определении величины этих линий, но точность этого возрастет с возрастанием величины амплитуды восхода [מרחב הזריחה]. Мы судим об этом на основании собственного опыта: у одного из домов, подготовленных нами для таких наблюдений, углы оказались не прямыми. Поэтому нам следует научить тебя как сделать это [,т.е. каким образом следует поступать, если углу дома не прямые].
Например, пусть [место соединения] западной стены с полом дома будет обозначено линией БА, [место соединения] северной стены будет обозначено линией БГ, а [место соединения] восточной стены, на в которой находится окно, будет обозначено линией ГД. Место на полу, в которое падает отвес от вершины окна, через которую проходит луч, падающий на западную стену, мы обозначим точкой Е. Измерим линейкой линии БГ, ГЕ и АБ. Прежде всего обозначим на линии БГ какую-либо точку, пусть это будет точка З; проведем линию ЗЕ, и определим при помощи линейки величины линий ГЗ и ЗЕ. Таким образом, нам известны стороны треугольника ГЗЕ, и поэтому известен угол ЕЗГ. Проведем из точки Е линию ЕТ перпендикулярную линии ЗГ, которая будет продолжена по мере необходимости, и проведем прямую линию ЕГТ. Итак, поскольку угол ТЗЕ известен, можно найти угол ЗЕТ, так как он является комплиментарным углу ТЗЕ в 90 градусах; поскольку величина линии ЗЕ известна, сторона ЗТ, противолежащая углу [מיתר זוית] ЗЕТ, также известна; поэтому мы можем определить и линию ТЕ. Поскольку линия ЗТ известна, а линия ЗБ измерена линейкой, линия ТБ также известна. Она является длиной северной стены, если западно-северный угол прямой, и это при условии, что северо-западный угол также прямой.
Если же [угол] не прямой, то нам придется исправить длину северной стены также и с той стороны, в соответствие с тем местом, где сделана отметка. Предположим, что места двух отмеченных на западной стене точек, из которых мы опустили отвес к полу дома, - это две точки Л и М. Определим угол ГБЛ тем же способом, каким мы нашли угол БГЕ. Пусть линия ЛН идущая из точки Л к линии ГБ, продолженной по мере необходимости, будет перпендикуляром; определим линию ЗН тем же способом, каким была найдена линий ЗТ. Таким образом, нам известна линия ТН; это длина северной стены, соответствующая этой отметке; таким же способом можно определить линию ЛН, являющуюся соответствующим расстоянием от точки Л до стены. Точно так же проведем из точки М к линии ГБ (по необходимости продолженной) перпендикуляр МС; мы можем определить линию ТС, то есть соответствующее расстояние от северной стены до точки М. Итак, этот дом может быть использован для данной процедуры, как если бы его углы были прямыми. Это мы и хотели доказать.

Глава 16

Мы не можем производить наблюдения планет не определив сначала местоположения наблюдаемых вместе с ними неподвижных звезд. По поводу же местоположений неподвижных звезд имеются чрезвычайно серьезные сомнения, поскольку, как мы обнаружили, [наши] предшественники держатся различных мнений в отношение движения восьмой сферы. Мы, очевидно, должны прежде всего установить истинные местоположения неподвижных звезд, а уже затем перейти к определению местоположения видимых с ними планет. Для этого мы воспользуемся инструментом, позволяющим одновременно наблюдать солнце и луну; ведь местоположение солнца в момент наблюдения нам несомненно известно. И когда с помощью этого инструмента мы найдем расстояние от него [,т.е. солнца,] до луны, мы, несомненно, будем знать местоположение луны. А благодаря этому мы установим местоположение неподвижных звезд, видимых вместе с луной близко ко времени этого наблюдения (об этом говорилось выше). Однако, здесь имеется затруднение, поскольку нам неизвестна величина параллакса. Выдвинем приблизительное предположение, что параллакс в новолуниях и оппозициях [луны и солнца] соответствует вытекающему из таблиц Птолемея, ибо это почти точно соответствует [наблюдаемому] в солнечных затмениях. Однако, в оставшиеся дни [лунного] месяца мы обнаружили, что величина параллакса, вне всякого сомнения, превосходит, хотя и незначительно, величину параллакса в оппозициях [,т.е. в новолуниях]. Это нам станет ясно из следующего. Мы наблюдали величину диаметра луны используя ее луч, входящий в окно упомянутого нами инструмента, и мы обнаружили, что диаметр [луны] в [ее] квадратах лишь незначительно превосходит [диаметр луны] в время оппозиций. Об этом говорится в разделе о луне. Мы исследовали величину диаметра луны с помощью этого инструмента во всех упомянутых аспектах, и во всех них мы обнаружили, что видимый диаметр луны в ее четвертях лишь незначительно превосходит его видимую величину в оппозициях. Ты, вне всякого сомнения, найдешь тому подтверждение, исследовав это описанным нами способом. Это, несомненно, доказывает, что луна лишь немногим ближе к нам в своих квадратах, чем в оппозициях.] Учтя все это, мы [,несмотря на то,] что Птолемей, как представляется, привел истинное обоснование параллакса в [лунных] четвертях, продолжили исследование следующим образом. Мы наблюдали луну, когда она приблизительно в своем квадрате, вместе с расположенной у эклиптики неподвижной звездой, наиболее подходящей для этого наблюдения, и мы определили расстояние от нее, [, т.е. расстояние от луны до этой звезды,] по долготе и отметили время наблюдения. Спустя четыре или пять часов, мы продолжили наблюдение луны вместе с этой звездой, нашли расстояния от нее по долготе и определили время наблюдения; зная все это мы [смогли] найти видимый путь [מהלך], пройденный луной за время между двумя наблюдениями. Затем мы вычли этот путь из того пути, который луна должна была пройти за это время в соответствие с моделью Птолемея, ибо если в данном случае мы будем опираться на расчеты произведенные в соответствие с упомянутой моделью Птолемея, это не принесет никакого вреда, поскольку в таком расчете за столь короткое время не будет ощутимой ошибки, и в особенности, как станет ясно в дальнейшем, [когда луна находится в своих] квадратах. Таким образом, полученный остаток будет величиной, возникшей в результате прибавления параллакса во втором наблюдении к параллаксу в первом наблюдении, если бы они оба были вычтены из истинного местоположения луны; либо [этот остаток будет] суммой двух параллаксов, если первый будет прибавлен, а второй - вычтен, из истинного местоположения Луны; либо величиной, на которую параллакс в первом наблюдении превосходит параллакс во втором наблюдении, если прибавить их к истинному местоположению Луны.
Здесь можно найти величину параллакса, проведя вычисления в соответствие с таблицами Птолемея, и посмотреть соответствует ли результат [הנשאר], приписываемый параллаксу, найденной нами величине. Проведя это вычисление мы нашли, что величина параллакса в квадратах [луны] лишь немногим превосходит величину параллакс в оппозициях [луны с солнцем]. Мы много раз повторяли это наблюдение, о чем мы, с Божьей помощью, расскажем в разделе о луне. Установив это, мы перешли к рассмотрению доказательства Птолемеем принятой им величины параллакса в квадратах [луны]. Мы нашли, что это доказательство основано на [предположении], что предельная северная и южная широта луны по отношению к эклиптике равна 5 градусам; однако, как будет неопровержимо доказано в разделе о луне, это неверно. Там будет показано, что предельная широта луны 4 1/2 градуса, как утверждал Аль-Батани; вместе с тем опытные данные Птолемея не противоречат тому, что мы доказали здесь, [а именно,] что параллакс в квадратах не превосходит параллакс в оппозициях, и это мы, с Божьей помощью, проясним в дальнейшем. Таково свойство истины: она не может противоречить самой себе, и согласна сама с собой всех аспектах и частях.
Мы можем определить местоположение неподвижных звезд другим, более легким, способом. Мы наблюдаем луну во время лунного затмения, и наблюдаем окружность круга тени на ней вместе с одной из неподвижных звезд. Определим время наблюдения и найдем расстояние в эклиптической долготе между неподвижной звездой и окружностью круга тени, в соответствие с тем, что мы наблюдаем. Приблизительная величина полудиаметра круга тени известна - она, как мы докажем в разделе о луне, равна 42 минутам; величина параллакса круга видимой на луне тени известна с большой точностью. Когда мы скорректируем местоположение круга тени в соответствие с таблицей параллакса, мы установим для этого момента истинное расстояние между окружностью круга тени и неподвижной звездой. На основании этого мы с легкостью определим истинное расстояние между центром круга тени и этой неподвижной звездой в момент наблюдения: поскольку полудиаметр круга тени известен, и поскольку известно истинное местоположение солнца в момент наблюдения - известно местоположение центра круга тени, ибо он удален от центра тела солнца на 180 градусов. Таким образом, местоположение наблюдаемой вместе с ней [,т.е. вместе с луной,] звезды известно, и местоположение этой неподвижной звезды укажет нам на местоположение остальных неподвижных звезд, долгота которых отмечена в таблицах, ибо мы можем рассчитать [их долготу] в соответствие с установленными Птолемеем дугами расстояний между ними. В настоящий момент нам этого достаточно для того, чтобы преступить к наблюдениями местоположений планет в соответствие с нашими указаниями , дабы установить соответствуют ли [данные наших наблюдений] тому, что вытекает из модели Птолемея.

Глава 17

В отношение луны мы упомянули ряд вещей, неопровержимо доказывающих, что ее истинная модель [תכונתו] отлична от модели Птолемея. Ведь в соответствие с его моделью видимый диаметр луны в квадратах [луны к солнцу] должен быть примерно в два раза большим, чем в оппозициях, то есть в оппозициях она находится в начале движения аномалии, а в четвертях - в 180 ее [,т.е. движения аномалии,] градусах. Мы не обнаружили значительного отличия в величине видимого диаметра луны ни по причине элонгации [с: Буквально - "апогея".], ни по причине движения аномалии; мы много раз повторяли это наблюдение при помощи упомянутого инструмента, используя который, как мы показали выше, исключено возникновение [ощутимой] ошибки.
Опыт [наблюдений] также показал нам, что величина диаметра Венеры в максимальной ее элонгации от Солнца больше, чем в начале движения аномалии или в его 180 градусах; также мы не обнаружили, что его видимая величина в 180 градусах движения аномалии превосходит его видимую величину в начале движения аномалии. Все это противоречит необходимым следствиям модели Птолемея, поскольку в соответствие с его моделью видимый диаметр Венеры в 180 градусах движения аномалии должен превосходит видимый ее диаметр в начале движения аномалии более, чем в 6 раз. Мы определили истинное положение вещей в отношении упомянутого изменения величины Венеры, наблюдая в различное время [בעת עת] ее соотношение с величиной неподвижных звезд первой или второй величины [ערך], видимых вместе с ней. Это общий способ [דבר כולל] определения изменения видимых величин каждой из планет в различные моменты времени. В случае Венеры мы сможем определить это, поскольку она видима днем вместе с солнцем, когда она находится в наибольшей элонгации от солнца. Ты можешь ее даже увидеть после полудня [בצהרים] в солнечном свете. Когда же она приблизится к солнцу на 20 градусов, или менее, ты уже не сможешь ее увидеть при солнечном свете. Ты найдешь этому подтверждение рассмотрев величину диаметра Венеры в этих двух положениях, и рассмотрев величину диаметра Венеры в начале движения аномалии и в ее 180 градусах. Ты также найдешь этому подтверждение [исследовав] луч Венеры, входящий в окно упомянутого выше инструмента; это [наблюдение] должно проводиться в полной темноте, когда луна не скрывает свет Венеры. Наши наблюдения Марса показали, что модель Птолемея в этом случае не определяет действительное положение дел. А именно, видимый размер Марса в 180 градусах движения аномалии не превосходит его видимый размер в начале движения аномалии, как должно было бы быть в соответствие с моделью Птолемея. Ведь его диаметр в 180 градусах движения аномалии не превосходит даже в двое его видимую величину в начале движения аномалии. Однако, в соответствие с моделью Птолемея, видимый размер Марса в момент его нахождения в 180 градусах движения аномалии должен превосходить его видимый размер в начале движения аномалии более, чем в 6 раз. Ты должен знать, что в этом вопросе в отношении Марса имеются затруднения, ибо, как мы обнаружили, в период его ретроградности во Льве его величина ощутимо превосходит величину Сатурна. То же верно и в отношение периода его ретроградности в Козероге, но, тем не менее, там [,т.е. в Козероге,] он видится большим, чем во Льве. Однако, когда он ретрограден в Раке, его видимый размер не увеличивается, и он не кажется большим, чем Сатурн. Все это запутывает данный вопрос, однако, в любом случае, его размер не достигает, как мы уже сказали, двойного увеличения. Как обстоит дело с другими планетами в данном отношение нам пока ещё не ясно. Это невозможно установить для Меркурия, поскольку в наших климатах [,т.е. географических широтах,] он видим в своем наибольшем удалении от солнца лишь в течение нескольких дней. Видимая малость его величины, когда он оказывается ближе к солнцу, может быть приписана его близости к сильному солнечному свету, который в это время делает его [видимый] размер меньшим, ибо в это время он [,т.е. Меркурий,] видим лишь незадолго до восхода солнца - сила солнечного света заставляет все видимые в это время звезды и планеты казаться меньшими. В отношении Сатурна и Юпитера нам пока что не удалось установить истинное положение дел, так как их наблюдаемая величина мало меняется, но, как бы то ни было, ясно, что в случае Сатурна и Юпитер действительное положение дел не соответствует положению дел, вытекающему из расчётов Птолемея. Ведь в соответствие с его моделью видимый диаметр Сатурна в 180 градусах движения аномалии должен превосходить на 1/5 величину его видимого диаметра в начале движения аномалии. Однако, это совершенно не так, если мы наблюдаем Сатурн в темноте, вне власти солнечного света. Ибо в этом случае [,т.е. при наблюдении вне власти солнечного света,] не существует ощутимого различия между его видимой величиной в этом месте [,т.е. в начале движения аномалии,] и его видимой величиной в 180 градусах движения аномалии. В соответствие с моделью Птолемея видимый диаметр тела Юпитера в 180 градусах движения аномалии также должен превосходить примерно на 1/3 его видимую величину в начале движения аномалии; однако, это совершенно не соответствует действительности, если мы наблюдаем Юпитер в темноте, вне какого-либо воздействия солнечного света. Ибо когда дело обстоит таким образом, нет ощутимого различия между его видимой величиной в этом месте [,т.е. в начале движения аномалии,] и его видимой величиной в 180 градусах движения аномалии.
Ты должен знать, что величину Марса, замеченную нами в начале в период его ретроградности во Льве, мы с самого начала приписали тонким облакам, через которые он тогда был виден. Мы поступило так, поскольку обнаружили, что его размер не увеличивался в период его ретроградности в Раке, а также поскольку мы сочли, что это увеличение [видимого размера] не происходило так, как оно должно происходить, если бы причиной тому была его близость к нам. [В противном случае] это бы означало, что за короткое время его видимый размер уменьшился в степени значительно превышающей должную пропорцию, ибо наблюдая его в период ретроградности в Козероге мы нашли, что его размера в Козероге лишь немногим превосходит [его размер] во Льве. Мы приписали отсутствие увеличения размера Марса в Скорпионе плотности испарений, через которые он тогда был видим. Причиной подобной видимости в то время была комета, которую можно было наблюдать в течение 3 месяцев - она производила это испарение, начинавшееся под Скорпионом и оканчивавшееся где-то под северным полюсом - там началось воспламенение и прекратилось в Скорпионе.
Это [свидетельство] подтверждает наше изначальное утверждение, что увеличение видимого размера Марса следует приписать тонким облакам, сквозь которые он тогда был видим. Поэтому мы должны будем провести дополнительные наблюдения; тем не менее, из сказанного ясно, что действительное положение дел не соответствует вытекающему из модели Птолемея. Мы, с Божьей помощью, остановимся подробнее на этом вопросе в дальнейшем.

Глава 18

Как мы уже сказали, при рассмотрении свойств [תכונה] некоторых планет обнаруживается их несоответствие предположениям Птолемея в отношении видимого размера этих планет. Нам следует продолжит исследование этого вопроса в аспекте их [,т.е. планет,] видимых движений. Ведь если их видимые движения по долготе и широте не соответствуют тем, что вытекают из модели Птолемея, это послужит для нас доказательством тому, что их свойства отличны от предполагаемых Птолемеем. Это также позволит нам установить [истинную] модель для каждой из планет, ибо вытекающее из данной [,т.е. истинной,] модели, должно соответствовать видимым движениям каждой из планет.
Тем не менее, мы считаем, что если бы мы здесь перешли к этому исследованию, нам пришлось бы повторяться, ибо те же наблюдения, которые мы привели бы здесь, мы положили в основу доказательства моделей, которые мы представим в дальнейшем для каждой из планет. Более того, проведение этого исследования в данном месте [нашей книги] будет весьма сложным, и разъяснение - чрезвычайно пространным. Ибо на основании наших наблюдений пяти планет мы сможем опровергнуть предложенные Птолемеем модели этих планет, если найдем, что эти наблюдения не соответствуют тому, что с необходимостью вытекает из его модели, лишь при условии предварительного знания среднего местоположения солнца. Ведь нам могут возразить, что причина этой ошибки [,т.е. утверждаемой Ральбагом неверности модели Птолемея,] лежит в неверности нашего расчета среднего местоположения солнца; ибо эта [ошибка] приводит к неправильному расчёту долготы Венеры и Меркурия, так как их среднее местоположение по долготе тождественно среднему местоположению солнца по долготе; это также приведет к неверному расчету местоположения Сатурна, Юпитера и Марса в движении аномалии, ведь, как известно, для каждой из этих трех планет ее местоположение по долготе в сумме с ее местоположением в движении аномалии равно среднему местоположению солнца по долготе.
Возможно также отнести эту ошибку и к Венере с Меркурием: [нам могут возразить, что] наши расчеты их местоположений в движении аномалии не соответствуют действительности, или наши вычисления их апогеев не соответствуют действительности. То же верно и в отношение Сатурна, Юпитера и Марса. Я хочу сказать, что можно приписать связанную с ними ошибку [в модели Птолемея], которую мы обнаружили благодаря нашим наблюдениям, неверности наших расчетов местоположения апогея, либо неверности наших расчетов движения долготы [תנועת האורך]. Возможно также приписать обнаруженную благодаря наблюдениями ошибку [Птолемея] при [определении координат] каждой из этих планет тому, что действительное местоположение неподвижных звезд, наблюдавшихся вместе с ними, не соответствуют рассчитанному нами. Ибо расчеты, проведенные с использованием моделей Птолемея могут привести к неверным результатам по любой из упомянутых причин, даже если сами эти модели верны. Однако, обоснование отсутствия в них [,т.е. в наших расчетах,] ошибки, определяемой одной из указанных причин, требует пространного доказательства и многочисленных наблюдений. Поэтому нам стоит отложить это исследование до того, как мы представим модель каждой из планет.

Глава девятнадцатая.

Здесь нам следует выдвинуть следующее основоположение, которое послужит основой для наблюдений порядка движения планет; затем мы исследуем модель, определяющую этот порядок. Если ты обнаружишь лишь одну модель, определяющая этот порядок, это послужит бесспорным доказательством истинности этой модели. Если же ты обнаружишь более одной модели, определяющей этот порядок, и они будут соответствовать наблюдаемым различиям в величине диаметра планеты, то благодаря этому исследованию мы узнаем, какая из этих моделей верна, а какая - нет. По этой причине мы должны исследовать все [возможные] модели, из которых могут вытекать различные роды видимых движений планет,а также рассмотреть свойства каждой из этих моделей; эти модели будут соответствовать [всем возможным] взаимоисключающим альтернативам в этом исследованииМодель, соответствующая наблюдаемым движениям планеты по долготе и широте, а также видимым изменениям величины ее диаметра, можно будет счесть [истинной] моделью этой планеты; модель же не обладающая такими свойствами, не может быть [истинной] моделью этой планеты.
Здесь мы приведем результаты наших собственных наблюдений, а также результаты наблюдений наших предшественников. Мы представим идей наших предшественников, несмотря на то, что мы пока еще не постигли этого [,т.е. не получили этому подтверждения,] если между ним не существует разногласия [в соответствующем вопросе], дабы это оказало нам хоть и небольшую, но помощь, в проведении этого исследования. Мы решили поступить] так, поскольку опытные данные, полученные в течение [одной] человеческой жизни, недостаточны для этой науки. Требуется значительно большее время; и в особенности это касается [наблюдения] движений, завершающихся лишь в течение продолжительного времени, например, движения неподвижных звезд и движения Сатурна и Юпитера. Поэтому мы не сможем определить среднее [השוה] движение какой-либо из планет, если не воспользуемся для этого значительно удаленным от нас во времени наблюдениями. Ведь определяя с помощью наблюдений период вращения планеты мы будем гораздо ближе к истине, если станем использовать два наблюдения, значительно отстоящие друг от друг по времени; и это совершенно очевидно. Таким образом, ясно, что этой науке требуются свидетельства тех [ученых], на наблюдения которых мы можем полагаться, таких как Гиппарх, Птолемей, Аль-Батани и других скрупулезных наблюдателей.
Здесь необходимо отметить, что за исключением солнца у всех планет имеется два вида движений. Первый - это движение долготы [תנועת האורך], и это движение, как мы видим, различно в различных местах сферы зодиака у солнца и у других планет, за исключением луны. Как представляется, [у каждой из планет] есть место, вблизи которого ее движение самое быстрое, и есть [другое место], вблизи которого ее движение самое медленное. Второй [вид] - это движение аномалии. Этот вид движения не свойственен солнцу. Благодаря этому [виду движения] мы наблюдаем у планет движение вперед и назад [קדימה ואיחור], и, таким образом, они (за исключением Луны) часть своего движения ретроградны. Это движение [аномалии] можно наблюдать во всех его видах во всех местах сферы зодиака; ты сможешь обнаружить его с помощью наблюдений в каждом из обращений этого движения, если это обращение завершается в течение непродолжительного времени. Тем не менее, в одних местах сферы зодиака коррекция [для этой этого движения аномалии] представляется большей, а в других меньшей, и когда она [,т.е. средняя долгота планеты,] приближается к месту наименьшей коррекции [,т.е. к апогею деферента,] то сумма коррекций [движения аномалии, рассчитанной для] прямого [движения] и [движения аномалии] для ретроградного движения больше, чем когда она удалена от него. Более того, чем [планета] ближе к месту, среднему между место наименьшей коррекции [долготы] и местом наибольшей коррекции, тем больше различие между коррекциями для прямого [движения аномалии] и ретроградного [движения аномалии]. У пяти планет дело обстоит следующим образом: в промежуточных расстояниях, следующих за местом наименьшей коррекции в началу движения аномалии, коррекция для прямого [движения аномалии] больше соответствующей коррекции для ретроградного [движения аномалии], то есть коррекция для 30 градусов движения аномалии больше, чем коррекция для 330 градусов движения аномалии. Однако, в 180 градусах движения аномалии дело обстоит противоположным образом, ибо коррекций [движения аномалии] для ретроградного движения будет там большим, чем та же коррекция [движения аномалии] для прямого движения, то есть, например, коррекция для 150 градусов движения аномалии меньше, чем коррекция для 210 градусов движения аномалии. Противоположным образом дело обстоит в промежуточных расстояниях, предшествующих месту наименьшей коррекции. Во всем сказанном может усомниться лишь тот, кто отрицает данные чувственного восприятия, ибо все это можно наблюдать у большинства планет в течение короткого времени.
Мы наблюдали это у всех планет за исключением Меркурия - нам еще не представилось возможность его повторного наблюдения. Сатурн и Юпитер мы наблюдали лишь с одной стороны от места наименьшей коррекции [,т.е. апогея]; с этой стороны мы обнаружили совпадение, и его, как, с Божьей помощью, будет разъяснено в дальнейшем, можно использовать как свидетельство и в отношение другой стороны, не охваченной нашими наблюдениями. Это легко заметить у Марса благодаря большому различию между коррекцией [движения аномалии] для прямого движения и коррекцией [движения аномалии] для ретроградного движения, о которых говорилось выше. Более того, благодаря нашим наблюдениям Венеры и Марса мы обнаружили, что место их наибольшей коррекции превышает 90 градусов аномалии, но оно меньше ее 270 градусов на, приблизительно, дугу [максимальной] коррекции вследствие движения аномалии; таким образом, для Венеры наибольшей коррекция была найдена приблизительно в 132 градусах аномалии и в 228 градусах аномалии. Мы нашли это с помощью созданного нами наблюдательного инструмента. Мы обнаружили, что когда она [,т.е. Венера,] находится неподалеку от этого места, ее видимое движение в течение одного дня равно только тому [движению], которое следует относить к движению долготы.
Мы пришли к тому же [выводу] еще одним, более легким способом. Вы нашли, что результат [רושם] коррекции движения аномалии Венеры от времени ее вечернего захода до времени ее утреннего захода равно результату коррекции движения аномалии от времени ее утреннего захода до времени ее вечернего захода. Мы нашли, что время, пошедшее от начала вечернего захода до времени утреннего захода, значительно короче времени от утреннего захода до вечернего захода. Более короткий промежуток времени не достигает 2/5 другого промежутка времени, и ты можешь [сам] с легкостью в этом убедиться.
В случае Марса мы пришли приблизительно к тем же результатам, наблюдая его до и после состояния, которое Птолемей называет "краями ночи". Это легко определить одним из следующих способов: наблюдения показывают, что время, прошедшее с того момента, как Марс оказался в 90 градусах после солнца, до момента, когда он в 90 градусах перед солнцем, более, чем в два раза, превышает время между нахождением Марса в 90 градусах перед солнцем и в 90 градусах после солнца. Говоря "перед солнцем" я имею в виду, что Марс расположен к востоку от солнца, ибо тогда он восходит прежде восхода солнца. В соответствие с наблюдениями, то же верно и в отношение Сатурна и Юпитера, хотя у них эти промежутки времени и не отличаются столь сильно. Некоторым образом это наблюдается у луны, также наши наблюдения Меркурия, по-видимому, показывают, что и в его случае дело обстоит таким же образом. Со всем этим согласны все [наши] предшественники и в этом между ними нет никакого расхождения во мнениях.
Здесь мы должны также привести полезные для нашего исследования результаты наших наблюдений, которые были известны нашими предшественниками лишь отчасти, если вообще были известны. Наблюдая величину солнечного луча через окно специально для этого изобретенного нами инструмента, мы нашили, что в наше время его [,т.е. солнца,] диаметр вблизи начала Рака равен приблизительно 0 градусам, 27 минутам и 50 секундам; когда же оно у начала Козерога, его диаметр видится большим, равным почти 30 градусам. Однако, в промежуточных расстояниях мы нашили, что его величина располагается посредине между двумя упомянутыми величинами в пропорционально близости [солнца] к этим местам; это неопровержимо доказывает, что солнце укреплено на сфере, центр которой не совпадает с центром мира, и что апогей солнца расположен у начала Рака в настоящее время, а его перигей - у начала Козерога. Мы представим здесь еще одно условное основоположение [השורש המונח] и в дальнейшем неопровержимо докажем его: движение апогея солнца равно 1 градусу за 43 египетских года, состоящих из 365 дней, и еще 232 дней и 6 1/2 часов с большой точностью; мы докажем это в следующей главе опираясь на наши наблюдения, а также наблюдения Птолемея и Аль-Батани. По-видимому, таким же образом обстоит дело и с Венерой. Апогей же Сатурна перемещается на один градус за, приблизительно, 44 года, состоящих из 365 дней и 1/4 дня; в случае Юпитера - движение апогея равно 1 градусу за, приблизительно, 60 лет, состоящих из 365 дней и 1/4 дня; движение апогея Марса - 1 градус за 66 лет, с большой точностью.
Ничто из сказанного мы здесь не будем доказывать, мы, с Божьей помощью, докажем это в дальнейшем, а пока что будем считать это условным основоположением [השורש המונח], дабы оно оказало нам некоторую помощь на данном этапе месте нашего исследования. Мы решили предварить [наше дальнейшее исследование] полученными нами или другими [учеными] результатами наблюдений, дабы они легли в основу нашего дальнейшего доказательства, ибо эта наука в определенной мере нуждается в данных чувств, дабы исходя из них мы смогли установить истинную модель сфер; в этом она [,т.е. астрономия,] некоторым образом подобна науке о природе [,т.е. физике], которая прибегает к свидетельству последующего [מאוחר] для [обнаружения] предшествующего [קודם] [,т.е. к апостериорным доказательствам]. Тем не менее, нам могут возразить, что эта наука, как и все прочие математические науки, должна доказывать последующее на основании предшествующего [,т.е. использовать априорные доказательства]. Доказательства, которое будет приведено в дальнейшем, покажет, что фигуры сфер [תמונת הגלגלים] планет [и звезд] определяются исходящими от них движениями, то есть они [,т.е. сферы,] являются такими, каковы они есть, дабы благодаря им существовали эти движения. Поэтому их движения по природе предшествуют их фигурам; подобным образом мы говорим, что зрение по природе предшествует фигуре [תמונת] глаза, ибо глаз существует ради зрения, а не зрение ради глаза, и это совершенно очевидно; об этом говорил Философ [,т.е. Аристотель,] в книге "О животных". Но как бы то ни было, мы не станем доказывать это здесь.

Глава двадцатая.

Представив те результаты наблюдений движений планет и изменений размеров планет, которые следовало представить, мы должны привести все взаимоисключающие альтернативы, которые можно предположить в отношение планетарных сфер. Мы разъясним особые свойства каждой этих моделей, дабы у нас имелось начало доказательства, исходящее из наших наблюдений. Но прежде этого нам следует упомянуть два основоположения, признания которых требует разум. Первое, что планеты [и звезды] укреплены внутри сферы [בגלגל] и их движение является частью общего движения сфер. торое, что движение небесных тел с необходимостью равномерно в самом себе [שווה בצד עצמה], а его видимое изменение определяется тем, как мы его воспринимаем, однако, само движение не изменяется. Ведь, как было доказано в книге [Аристотеля] "О небе и мире", небесные тела не могут иногда становиться слабее, а иногда сильнее. Более того, мы обнаружили, что они движутся неизменным [ישר] и равномерным образом уже долгое время, в течение которого проводились дошедшие до нас наблюдения их движений; [за это время] образ их движения нисколько не менялся, если не принимать во внимание те [отклонения, которые] объясняются приблизительностью наблюдений. Если бы в случае небесных тел дело обстояло так же, как у растениями, которые из года в год проходят [периоды] молодости и старости, переходя от молодости к старости, и от старости к молодости, то их [,т.е. небесных тел,] устроение нарушалось бы в течение продолжительного времени, подобно тому, как растения в одни годы становятся сильными, а в иные - ослабевают. Вообще же, это основоположение совершенно очевидно читателю этой книги, и нет необходимости в его дальнейшем объяснении.
После приведенного разъяснения, скажем теперь о наблюдаемом изменении среднего движения долготы. Его можно представить двумя способами. Можно предположить, что центр движения сферы находится в центре земли, и движение совершается вокруг другой точки, не совпадающей с ее [,т.е. сферы,] центром; или сам [центр сферы] не совпадает с центром земли. Последнее это можно понять двумя способами: либо эксцентрическая сфера охватывает землю, либо она не охватывает землю, и в последнем случае она укреплена в охватывающей землю сфере; эту [не охватывающую землю] сферу Птолемей назвал эпициклом [גלגל ההקפה]. Птолемей показал эквивалентность этих моделей как в отношение величины видимого движения определенной планеты, так и в отношение расстояния этой планеты от земли, когда расстояние [центра этой сферы] от центра [земли] равно полудиаметру не объемлющей [землю] сферы [,т.е. эпицикла,] а величина объемлющей сферы [,т.е. деферента,] равно 60 минутам [? частям - חלקים]. Если центр сферы счесть эксцентрическим по отношению к центру земли, возникнут [дополнительные] альтернативы: либо движение сферы совершается вокруг центра, либо вокруг другой точки; мы, с Божьей помощью, мы разъясним особенности каждой из этих моделей.
Мы утверждаем, что [для модели, в соответствие с которой] движение совершается в эксцентрической по отношению к центру мира сфере, неважно, охватывает эта сфера центр мира или не охватывает его; в любом случае максимальная коррекция превышает 90 градусов среднего движения, отсчитываемого от начала этого движения в апогее, в соответствие с величиной максимальной коррекции. Я имею в виду, что при максимальной коррекции равной 11 градусам, это будет соответствовать 101 градусу от апогея, или 259 градусам от него. Однако, [в модели, где] движение осуществляется в сфере, чей центр совпадает с центром мира, вокруг точки эксцентрической по отношению к центру мира, максимальная коррекция будет в 90 градусах среднего движения от апогея, и также в 270 градусах от него.
Приведем доказательство. Пусть эксцентрическим по отношению к центру мира кругом, в котором осуществляется это движение, будет круг АБГ; предположим, что этот круг охватывает землю, ибо то что будет доказано для этого случая, верно также и если движение осуществляется в сфере, которая не охватывает землю, о чем говорилось выше. Центром этого круга будет точка Д, а центром земли - точка Е. Диаметром, проходящий через эти центры, будет линия АДЕГ; лежащая на ней точка А - это точка апогея, а лежащая на ней точка Г - это точка перигея. Мы утверждаем, что наблюдаемое в этом движении наибольшее различие обнаруживается более в чем 90 градусах от точки А, как перед ней, так и позади нее, и соответствует максимальной коррекции. Дабы найти эту величину, проведем линии ЕБ и ДБ; прежде всего, пусть угол АЕБ будет углом видимого движения в 90 градусов; таким образом, угол АЕБ – прямой. гол АДБ - это угол среднего движения, и он превосходит угол АЕБ на величину угла ДБЕ, поэтому угол ДБЕ будет углом коррекции в этом месте. Я утверждаю, что угол ДБЕ - это наибольший возможный угол коррекции для этого движения, так как линия ДЕ является, в соответствие со сказанным ранее, синусом этого угла, поскольку угол ДЕБ прямой, а величина линии ДБ - 60 градусов. И если угол АЕБ будет острым или прямым, синус угла ДБЕ, являющегося углом коррекции, будет меньше линии ДЕ. Дело обстоит таким образом, поскольку перпендикуляр из точки Д к продолженной по необходимости линии БЕ, которая является синусом угла ДБЕ, падает либо между точками Е и Б, или за пределами этого отрезка. Линия ДЕ может быть значительно длиннее этого перпендикуляра, так как ее квадрат равен сумме квадратов этого перпендикуляра и расстояния от основания этого перпендикуляра до точки Е. Поскольку этот синус меньше линии ДЕ, очевидно, что чем меньше синус угла по отношению к [этой] линии, тем меньше сам угол, при условии, что угол меньше 90 градусов, а именно так и обстоит дело в данной фигуре. Таким образом, очевидно, что в этой модели угол коррекции будет наибольшим, если угол ДЕБ прямой, и дуга АБ, являющаяся среднем движением, превосходить 90 градусов на величину угла ДБЕ.
Из сказанного Птолемеем в книге Альмагест можно заключить, что к этому же выводу можно прийти, если принять [модель] эпициклов, и предположить, что полудиаметр эпицикла равен линии ДЕ, а движение эпицикла равно движению эксцентрической сферы, которая охватывает землю. Коррекция в обеих моделях, очевидно, максимальна, когда планета удалена от своего апогея на 90 градусов в своем видимом движении. У этих моделей имеется еще одна общая черта: видимая величина диаметра планеты различна в различных местах этого движения, и, в соответствие с наблюдениями, величина планеты будет наименьшей, когда планета расположена в точке апогея, и наибольшей, когда она находится в точке перигея; видимое различие в величине диаметра в двух этих местах определяется отношением величины линии АЕ к величине линии ЕГ в данном примере. Ведь когда планета находится в точке А, она наблюдаема на расстоянии равном линии АЕ, а когда она в точке Г, она наблюдаема на расстоянии равном линии ЕГ, которая меньше линии АЕ на удвоенную величину линии ДЕ.
Это движение можно представить как относящееся к сфере эпицикла, если предположить, что эпицикл укреплен в одной охватывающей землю сфере, и охватывающая землю сфера осуществляет среднее движение планеты, а также [планета] осуществляет на эпицикле движение равное движению охватывающей землю сферы, то есть движение эпицикла и движение долготы приходят к завершению в за одно и то же время. Видимое движение планеты на эпицикле иногда больше, а иногда меньше, среднего движения, о чем уже говорилось выше. Эпициклическая модель отличается от других моделей, основанных на охватывающей землю сфере. Ибо в модели с охватывающей землю сферой мы всегда видим одну и ту же часть поверхности планеты, и это, очевидным образом, неизбежно [вытекает из данной модели]. Однако в эпициклической модели мы не всегда видим одну и ту же часть поверхности планеты: когда звезда находится в своем истинном апогее мы видим ту поверхность планеты, которая обращена внутрь сферы эпицикла, а когда она расположена в своем истинном перигее, мы видим поверхность планеты, обращенную к наружной части сферы эпицикла; когда же она находится в промежуточных расстояниях [между апогеем и перигеем] мы видим частично ее поверхность, обращенную вовне, а частично поверхность, обращенную внутрь. Из этого несомненным образом следует, что луна, в отличие от мнения Птолемея, не укреплена в сфере эпицикла. Ведь видимая на луне тень, как доказывают математические науки, с необходимостью действительно находится там, и не является видимостью [ראיה]; мы, с Божьей помощью в дальнейшем покажем, что ее [,т.е. тень,] всегда возможно наблюдать лишь на определенной, видимой нами, стороне луны. Доказательство тому - что мы всегда видим одну и ту же определенную часть тела луны, что было бы невозможно, если принять, что луна находится в сфере эпицикла.
Еще одно свойство отличает эпициклическую модель от модели эксцентрического круга, охватывающего землю, вокруг центра которого осуществляется движение: в этой модели [,т.е. в эпициклической,] движение планеты бывает самым быстрым, когда она находится дальше всего от земли, то есть когда планета проходит через апогей своего эпицикла в направлении движения долготы [אורך вместо ארץ ], как полагал Птолемей в отношение пяти планет. Однако движение охватывающей землю и эксцентрической по отношению к ее центру сферы, которая движется вокруг собственного центра, всегда самое медленное, когда планета более всего удалена от земли.
Я утверждаю, что если в этом нашем примере принять центр круга АБГ за центр земли, и если среднее движение будет осуществляется вокруг не совпадающего с центром земли центра, то наибольшая коррекция будет находиться в 90 градусах среднего движения от начала движения долготы. Доказательство. Рассмотрим предшествующую фигуру; пусть точка Е будет центром земли и центром круга АБГ. Среднее движение осуществляется вокруг точки Д; проведем линии ЕБ и ДБ, а также прямую линию АДЕГ. Точка А - это начал среднего движения; приведенным выше способом можно показать, что коррекция в этой модели будет максимальной, когда угол ЕДБ прямой, то есть в 90 градусах перед точкой А и [в 90 градусах] после нее. Ведь величина линии ЕБ в этой модели равна 60 градусам, поскольку она является полудиаметром круга АБГ; таким образом, из предшествующего доказательства следует, что в этой модели коррекция будет максимальной, когда угол ЕДБ прямой.
Другое отличие этой модели от предшествующих заключается в том, что величина видимого диаметра планеты остается одинаковой и неизменной, ибо она всегда видима на одном и том же расстоянии. Еще одна особенность этой модели в сравнении с предшествующими: если линию ДЕ в нашем примере счесть одинаковой в обеих моделях, то коррекция в этой модели будет большей, чем в предшествующих моделях, от начала среднего движения и до его 90 градусов прежде или после начала среднего движения; наибольшее расхождение будет равно дуге, синус которой составляет половину линии ДЕ. В оставшейся же части круга дело будет обстоять противоположным образом. Приведем доказательство. Пусть круг АБГД будет кругом, на котором осуществляется движение во второй модели; его центр, который [одновременно] является центром земли, - точка Е. Пусть среднее движение осуществляется вокруг точки З; проведем прямую линию АЗЕГ. Начертим вокруг центра З круг ХБТД равный кругу АБГД, который пересекает круг АБГД в двух точках - Б и Д; линия ХАЗЕТГ будет прямой. Пусть круг ХБТД будет эксцентрическим кругом, а его центром - точка З, и вокруг точки З, так же как и в предшествующей модели, осуществляется среднее движение; таким образом, два круга - АБГД и ХБТД представляют каждую из этих моделей. Проведем линии ЗБ и ЕБ, и, таким образом, треугольник ЗБЕ окажется равнобедренным. Разделим линию ЗЕ пополам в точке Л и проведем линию БЛ. Как мы видим, угол ЗЛБ прямой, а угол ЛБЗ равен углу дуги, которая соответствует синусу ЗЛ. Понятно, что угол АЗБ - это угол среднего движения в обеих моделях, и он превосходит 90 градусов на величину угла ЛБЗ, которая равна дуге соответствующей синусу, [чья величина] - половина линии ЗЕ. Я утверждаю, что коррекция будет большей для модели с кругом АБГД, чем для модели с кругом ХБТД, с обеих сторон от начала движения до точек Б и Д; в оставшейся части круга дело обстоит противоположным образом. Приведем доказательство. Возьмем какую-либо точку [и обозначим ее] М; проведем прямую линию ЗМ до ее пресечения с дугой ХБ в точке Н; проведем линии ЕМ и ЕН. Таким образом, угол ЗМЕ является здесь коррекцией для модели с кругом АБГД, а угол ЗНЕ - коррекцией для модели с кругом ХБТД. Угол ЗМЕ превосходит угол ЗНЕ; то же верно для всех коррекций идущих от начала движения долготы вплоть до двух точек Б и Д. Скажем, что в оставшейся части круга дело обстоит противоположным образом. Отметим на дуге БГ какою-либо точку [и обозначим ее] С; начертим прямую линию ЗС, которая пересекает дугу БТ в точке О. Проведем линии ЕО и ЕС; угол ЗСЕ будет здесь углом коррекции для модели с кругом АБГД; этот угол меньше угла ЗОЕ, который здесь служит коррекцией для модели с кругом ЕБДТ.
Итак, из приведенных выше альтернатив нам остается рассмотреть ту, в соответствие с которой среднее движение осуществляется в сфере, центр которой не совпадает с центром мира, и ее движение не осуществляется вокруг его центра. Здесь также существует несколько альтернатив: либо среднее движение происходит вокруг центра земли; либо вокруг точки расположенной так, что центр сферы находится между ней и центром земли; либо вокруг точки, находящейся между центром сферы и центром земли; либо вокруг точки, расположенной так, что центр земли находится между ней и центром сферы; либо эта точка не будет расположена на прямой, соединяющей центр земли и центр этой сферы. Теперь я покажу, что приведенные альтернативы являются необходимыми [и единственно возможные]. Движение [небесных тел] может осуществляется либо вокруг центра земли, либо вокруг иной точки. Если принять, что оно осуществляется вокруг иной точки, то эта точка находится либо на прямой, соединяющей центр земли и центр этой сферы, либо эта точка не расположена на прямой, соединяющей центр земли и центр этой сферы. Если предположить, это она находится на упомянутой прямой, то движение будет осуществляется либо вокруг точки, расположенной так, что центр сферы находится между ней и центром земли, либо эта точка будет находиться между центром сферы и центром земли, либо центр земли будет между ней и центром сферы. Это необходимые [и единственно возможные] альтернативы, поскольку не существует еще какого-либо способа расположить эту точку, центр мира и центр земли на одной линии. Особенностью модели, в которой среднее движение совершается вокруг центра земли, является видимая в наблюдениях равномерность движение; однако, видимая величина планеты будет изменяться, то есть когда планета будет находиться на наибольшем расстоянии [от земли], она будет видится меньшей, чем когда она находится на самом близком расстоянии [от земли], и это совершенно очевидно. Именно таким образом Птолемей понимал движение долготы луны; однако, мы уже показали, что это не соответствует наблюдаемым изменениям величины диаметра тела луны в различных местах движения долготы. Ибо видимое изменение величины диаметра тела луны в [любом] месте движения долготы происходит не в соответствие с этой моделью. Ведь в соответствие с этой моделью видимый диаметр в оппозициях [луны с солнцем, т.е. в полнолуниях,] должен быть меньшим, чем в квадратах [с солнцем] приблизительно на треть. Тем не менее, благодаря наблюдениям мы обнаружили, что видимая величина луны в квадратах превышает ее величину в оппозициях, как уже было сказано, совершенно незначительным образом.
Особенность модели, в соответствие с которой центр сферы расположен между центром среднего движения и центром земли, является равенство коррекций для 90 градусов ее среднего движения и для 90 градусов ее видимого движения. Это происходит, когда центр сферы рассекает пополам расстояние между центром среднего движения и центром земли.
Приведем доказательство. Пусть центром эксцентрического по отношению к центру мира круга АБГ будет точка Д; центром земли будет точка Е; допустим, что точкой, вокруг которой осуществляется среднее движение, будет точка З. Проведем линию АЗДЕГ, а также линии ЗБ и ЕБ. Предположим, что угол АЗБ прямой и служит углом среднего движения; коррекцией будет угол ЗБЕ. Сделаем прямым также и угол АЕТ, и он будет углом видимого движения. Проведем линию ЗТ; очевидно, что угол ЗТЕ - это угол коррекции в данном месте. Я утверждаю, что угол ЗТЕ равен углу ЗБЕ. Ведь линия ЕТ равна линии ЗБ, по следующим причинам: их расстояние от центра круга одинаково, линия ЕЗ принадлежит [обоим треугольникам], а угол БЗЕ равен углу ЗЕТ, так как оба этих угла прямые. Таким образом, линия ЗТ равна линии ЕБ, и треугольники равны и конгруэнтны. Поэтому угол ЗБЕ равен углу ЗТЕ, что мы и хотели доказать.
На основании этой фигуры легко понять, что если бы в этом нашем примере линия ДЕ превосходила линию ДЗ, то угол ЗТХ превосходил бы угол ЗБЕ, то есть коррекция для 90 градусов видимого движения превосходила бы коррекцию для 90 градусов среднего движения; дело будет обстоять противоположным образом, если линия ЗД будет длиннее линии ДЕ. Приведем доказательство, используя предшествующую фигуру. Прежде всего предположим, что линия ДЕ там длиннее; из этого с необходимостью следует, что линия ЕТ короче линии ЗБ. Выделим на лини ЗБ отрезок ЗЛ, равный линии ЕТ, и проведем линию ЛЕ. В соответствие с предшествующем доказательством, угол ЗЛЕ равен углу ЗТЕ. Таким образом, угол ЗЛА превосходит угол ЗБЕ. Тем же способом можно показать, что если линия ЗД длиннее линии ДЕ, угол ЗБЕ превосходит угол ЗТЕ; это мы и намеревались доказать.
Еще одна особенность, отличающая эту модель от предшествующей модели, в которой среднее движение совершается вокруг центра эксцентрической сферы, заключается в том, что даже если счесть максимальную коррекцию в одной модели равной максимальной коррекции в другой модели, изменение видимой величины планеты в этой модели будет меньшим, чем видимое изменение в предшествующей модели. Дело обстоит именно так, поскольку расстояние между центром земли и центром сферы в этой модели меньше, чем в предшествующей модели, что совершенно очевидно читателю нашей книги. По этой причине изменение расстояния планеты от нас в этой модели будет меньшим, чем изменение расстояния планеты от нас в той модели.
Эта модель отличается от других моделей еще в одном аспекте: в ней коррекция [חילוף] в 90 градусах среднего движения превосходит коррекцию в 90 градусах видимого движения в модели, предполагающей концентрическую с центром земли сферу, и в соответствие с которой среднее движение не осуществляется вокруг центра мира. Однако, в этой модели разница в коррекции между 90 градусами среднего движения и 90 градусами видимого движения не превосходит разницу в коррекции между теми же местами в той [,т.е. предшествующей,] модели. Дело обстоит так, поскольку если счесть расстояние между двумя центрами в той модели равным расстоянию между точками З и Е в этой фигуре, то линия полудиаметра будет превосходить вторую линию в той модели в значительно большей мере, чем одна из этих линий превосходит другую в этой модели. Это можно объяснить используя предшествующее доказательство, если мы выделим на линии полудиаметра отрезок равный второй линии. Приведем пример. Пусть в этой же фигуре точка З будет точкой, вокруг которой осуществляется среднее движение, а точка Е будет центром земли и центром сферы. Пусть угол ЗБЕ будет углом коррекции, когда планета находится в 90 градусах видимого движения. Величина угла АБГ будет той же, что и в предшествующей фигуре. Поскольку линия ЕТ в этой фигуре равна полудиаметру, она с необходимостью превосходит величину лини ЕТ в предшествующей фигуре, так как она удалена он центра круга на величину линии ЕД, а величина линии ЗБ меньше величины линии ЗБ в предшествующей фигуре. Поэтому угол ЗБЕ в этой, второй, фигуре превосходит угол ЗБЕ в предшествующей фигуре. Это станет понятно, если мы продлим линию ЗБ до [точки] Х, так что линия ЗХ будет равна линии ЗБ в другой фигуре, и также проведем линию ЕХ. Таким образом, угол ЗХЕ равен углу ЗБЕ в предшествующей фигуре, и он меньше угла ЗБЕ в этой фигуре.
Подобным образом можно показать, что угол ЗТЕ в этой, второй, фигуре будет меньше угла ЗТЕ в предшествующей фигуре: выделим на линии ЕТ линию ЕК, равную линии ЕТ в предшествующей фигуре и проведем линию ЗК. Угол ЗКЕ будет равен углу ЗТЕ в предшествующей фигуре и больше угла ЗТЕ в этой фигуре. Таким образом, разница между углом ЗБЕ и углом ЗТЕ в этой, второй, фигуре будет значительно превосходить разницу между углом ЗБЕ и углом ЗТЕ в предшествующей фигуре. Именно это является особенностью рассматриваемой нами модели. Тем же способом можно показать [еще одну] особенность этой модели в сравнение с другими моделями: в ней коррекция [חילוף] для 90 градусов ее видимого движения превосходит коррекцию [חילוף] для 90 градусов среднего движения в модели с эксцентрической по отношению к центру земли сферой, в которой среднее движение осуществляется вокруг такого же [,т.е. эксцентрического по отношению к центру земли,] центра. В этой модели разница коррекций в 90 градусах видимого движения и 90 градусах среднего движения не достигает разницы коррекций для этих мест в той модели. Эта модель имеет еще одну особенность, отличающую ее от той модели: если максимальную коррекцию в этих двух моделях счесть равной, то наблюдаемая [величина] тела планеты в другой модели в большей степени изменяется в другой модели, когда мы сравниваем эту величину в апогее и перигее, чем изменяется наблюдаемая [величина] тела этой планеты в этой модели, ибо различие в степени ее удаления от земли больше в той модели; это, учитывая уже сказанное по данному поводу, совершенно очевидно читателю нашей книги.
Теперь допустим, что центр среднего движения расположен между центром сферы и центром земли. Я утверждаю, что отличие этой модели от предшествующих моделей с экцентрическими кругами, заключается в том, что если максимальную коррекцию в этой модели счесть равной максимальной коррекции в тех моделях, то разница видимого размера планеты в перигее и видимого ее размера в апогее будет большей, чем в любой из предшествующих моделей, ибо разница между перигеем и апогеем в этой модели больше, и это совершенно очевидно читателю нашей книги. Я утверждаю, что в этой модели разница между коррекцией для 90 градусов видимого движения и коррекцией для 90 градусов среднего движения больше, чем эта разница в любой из предшествующих моделей. В случае предшествующих моделей наибольшая разница была обнаружена в модели с эксцентрической сферой и средним движением вокруг центра этой сферы. Мы покажем, что эта модель делает упомянутую разницу большей, чем та модель, когда величина максимальной коррекции в обеих этих моделях одинакова.

Приведем доказательство для модели с эксцентрической сферой и центром среднего движения в центре этой сферы. Пусть эксцентрическая сфера, на которой осуществляется движение, будет обозначена кругом АБГД с центром в точке Е; центром земли будет точка З. Проведем линию АЕЗГ, и линии ЕБ и ЗХ перпендикулярные диаметру АГ, пересекающие окружность круга с одной и той же стороны; проведем также линии ЕХ и ЗБ. Угол ЕХЗ является углом коррекции для положения планеты в 90 градусах видимого движения, а угол ЕБЗ - углом коррекции для положения планеты в 90 градусах среднего движения. Отметим на линии ЕБ линию ЕТ, равную линии ЗХ, и проведем линию ЗТ. Очевидно, что угол ЕТЗ равен углу ЕХЗ, поскольку угол ТЕЗ равен углу ХЗЕ, и стороны прилежащие к углу ТЗЕ равны сторонам прилежащим к углу ХЗЕ, то есть, поскольку соответствующие углы и охватывающие [угол] стороны соответственно равны, другие стороны и углы соответственно равны. Таким образом, разница коррекции для 90 градусов видимого движения и коррекции для 90 градусов видимого движения равна углу ЗТБ, который является разницей угла ЕТЗ и угла ЕБЗ.
Теперь для исследуемой нами модели возьмем круг АБГ с центром в точке Е, как круг эксцентрической сферы; центром земли будет точка З. Пусть точка Д будет центром среднего движения планеты, расположенным между точками Е и З. Начертим прямую линию АЕДЗГ, а из двух точек Д и З проведем линии ДБ и ЗТ, перпендикулярные линии АЕДЗГ. Эти линии пресекают окружность с одной и той же стороны. Проведем линии ДТ и ЗБ; приведенным выше способом можно показать, что угол ДТЗ является углом коррекции для 90 градусов видимого движения , а угол ДБЗ - углом коррекции для 90 градусов среднего движения планеты. Пусть угол ДТЗ в этой фигуре будет равен углу ЕХЗ в предшествующей фигуре; таким образом, максимальная коррекция в обеих моделях будет одинаковой. Отметим на линии ДБ отрезок равный линии ДТ; это возможно, поскольку линия ДБ длиннее линии ДТ, так как линия ДТ ближе, чем линия ДБ к линии ДГ, которая лежит на диаметре.

Пусть линия равная ДТ будет линией ДМ; проведем линию МЗ; я утверждаю, что угол ДБЗ в этой фигуре меньше угла ЕБЗ в предшествующей фигуре.
Приведем доказательство. Поскольку углы ДТЗ и ЕХЗ равны, и углы ДЗТ и ЕЗХ также равны, углы ДЗТ и ЕЗТ подобны [מתדמים]. Таким образом, линия ДТ относится к линии ДЗ так же, как линия ЕХ к линии ЕЗ: поскольку линия ДМ равна линии ДТ, и линия ЕБ равна линии ЕХ, линия ДМ относится к линии ДЗ так же, как линия ЕБ к линии ЕЗ. Так как угол, охваченный линиями ДМ и ДЗ, равен углу, охваченному линиями ДБ и ЕЗ (поскольку оба эти угла прямые), треугольники ДМЗ и ЕБЗ подобны, и поэтому угол ДМЗ равен углу ЕБЗ. Поскольку угол ДБЗ меньше угла ДМЗ, угол ДБЗ меньше угла ЕБЗ. Так как углы ДТЗ и ЕХЗ равны, разница углов ДТЗ и ДБЗ больше, чем разница углов ЕХЗ и ЕБЗ. Это мы и хотели доказать.
У этой модели есть еще одна особенность: коррекция для углов, превышающих 90 градусов видимого движения, больше чем для 90 градусов видимого движения. Приведем доказательство. Воспользуемся предшествующей фигурой этой модели; мы покажем, что там существует угол, превышающий 90 градусов видимого движения, для которого коррекция превосходит угол ДТЗ. Доказательство. Разделим линию ДТ пополам в точке Л и начертим круг ДТНЗ с центром в точке Л, который опишет треугольник ДТЗ. Проведем линию ЕЛН; ее пересечением с окружностью АБГ будет точка С. Из этого следует, что из всех линий, идущих из точки Л к окружности круга АБГ, линия ЛС кратчайшая, так как Л не является центром этого круга. Таким образом, ЛС короче линии ЛТ, которая равна линии ЛН. Проведем линию ДСО, пересекающую круг ДТ в точке О; затем проведем линии ЗС и ЗО. Очевидно, что угол ДСЗ является углом коррекции для этого места, и он превосходит угол ДОЗ, который равен углу ДТЗ. Это мы и хотели доказать.
Модель с эксцентрической сферой, где центр земли находится между центром этой сферы и точкой, вокруг которой осуществляется среднее движение, отличается от предшествующих моделей следующим образом: наиболее быстрое движение имеет место, когда видимый размер планеты наименьший, а наиболее медленное движение - когда он наибольший. И это совершенно очевидно. Существует еще одно отличие. Если счесть местом начала этого движения апогей, который лежит на диаметре, проходящем через эти центры, то максимальная коррекция одинакова для 90 градусов среднего движения или для более, чем 90, градусов видимого движения, равна максимальной коррекции. Это, учитывая сказанное прежде, достаточно очевидно. Коррекцию следует прибавить к среднему движению, тогда как в предшествующих моделях ее нужно отнять. Но если мы поместим начало движения в другом конце диаметра, то есть в перигее, эта модель будет обладать своей особенностью, отличающей ее от других эксцентрических моделей: максимальная коррекция для 90 градусов среднего движения и для менее, чем 90, градусов видимого движения будет равна величине максимальной коррекции. Это совершенно очевидно, учитывая сказанное ранее.
Модель, в которой центр среднего движения не расположен на диаметре, проходящем через центр сферы и центр земли, обладает отличительной особенностью: наибольшая и наименьшая скорости не будут на апогее и перигее. Напротив того, они существуют в концах диаметра, проходящего чрез центр земли и центр среднего движения; это очевидно из сказанного ранее. Из сказанного Птолемеем о движении Меркурия, по-видимому, следует, что данная модель подходит для этого [движения]. Ведь Птолемей показал, что его скорость наибольшая и наименьшая не на самом далеком и не на самом близком расстоянии. По этой причине точка, вокруг которой осуществляется среднее движение, находится в различных положениях по отношению к точке на диаметре, который проходит через самое далекое и самое близкое расстояние; и каждое из этих [положений] обладает своими особенностями по отношению к этой точке на диаметре. Однако, мы не станем их рассматривать пространно, так как их суть ясна из сказанного выше.
Итак, мы привели альтернативы, которые возможно представить [в качестве объяснения] видимых изменений в движении долготы, когда движение долготы рассматривается как простое. Мы лишь упомянули известную эпициклическую модель, которая состоит из двух движений, поскольку большинство ее свойств также принадлежит эксцентрической модели, где среднее движение осуществляется вокруг центра сферы, и мы не хотим повторять уже сказанное.

 


[1] Ишаягу, 40:26.

[2] То есть мы видим одно и то же число звезд и планет.

[3] Тегилим, 8:4-5.

[4] Буквально - темное.

[5] Движение центра - это среднее движение долготы, рассчитываемое от апсидной линии.

[6] Речь идет об астролябии, устройство которой Птолемей описывает в Альмагесте, V:1.

[7] Буквально - "приближение".

[8] В этой главе Ральбаг рассматривает "камера обскура". Камера обскура - (от лат. сamera — комната и лат. obscura — тёмная) — простейший вид устройства, позволяющего получать оптическое изображение объектов. Представляет собой светонепроницаемый ящик с отверстием в одной из стенок и экраном (матовым стеклом или тонкой белой бумагой) на противоположной стенке. Лучи света, проходя сквозь отверстие диаметром приблизительно 0,5-5 мм, создают перевёрнутое изображение на экране. Первые камеры-обскуры представляли собой затемнённые помещения (или большие ящики) с отверстием в одной из стен. Упоминания о камере-обскуре встречаются ещё в 5-ом веке до н. э. — китайский философ Ми Ти описал возникновение изображения на стене затемнённой комнаты. Упоминания о камере-обскуре встречаются и у Аристотеля. Арабский физик и математик X века ибн аль-Хайсам (Альхазен), изучая камеру-обскуру, сделал вывод о линейности распространения света.]

[9] То есть положение наблюдателя на земле не играет большой роли при определении звездных координат.

[10] Приблизительно 1.5 мера.

[11] Приблизительно 2.1 см.

[12][12] В тексте - "по ширине".

[13] Буквально - "на круге сферы зодиака".

[14] Буквально - "от сферы зодиака".

[15] Захария, 11:7 - "И пас я овец, (обреченных на) заклание, для торговцев скотом; и взял себе два посоха, один назвал я Ноам (благость), а другой назвал Ховелим (ранящие), и пас я овец этих."

[16] Ишаягу, 11:1 - "И произойдет отрасль из ствола Йишая, и даст плоды побег, (что) от корней его."

[17] Шмуэль I, 26:19.

[18] Берейшит, 30:37-43 - "И взял себе Йааков прут белого тополя свежий, и орешника и каштана, и надрезал на них надрезы белые, обнажая белое, что на прутьях. ... И ярился скот перед прутьями ... И распространился муж весьма, весьма, и был у него мелкий скот множащийся, и рабыни и рабы, и верблюды и ослы."]